Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Основоположниками качественной теории дифференциальных уравнений являются русский математик А. М. Ляпунов и французский математик А. Пуанкаре.
Роль советской науки в качественной теории дифференциальных уравнений заключается не только в том, что советскими учеными разрабатывались важные теоретические вопросы, но также и в том, что в СССР впервые широко использованы глубокие результаты качественной теории для решения вопросов физики и механики.
В предыдущем параграфе мы подробно рассмотрели один из важных вопросов качественной теории — вопрос о характере расположения 40 | Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения
^интегральных кривых в окрестности особой точки. Остановимся теперь на некоторых других основных вопросах качественной теории.
Устойчивость. В примерах, рассмотренных в начале главы, вопрос •об устойчивости или неустойчивости равновесия системы решается просто, без исследований дифференциальных уравнений, на основании физических соображений. Так, в примере 3 очевидно, что если маятник, находящийся в состоянии равновесия OA, переведен при помощи какой-либо внешней силы в некоторое близкое положение OA', т. е. мало изменены начальные условия, то при дальнейшем• движении маятник не может далеко отклониться от положения равновесия, и это отклонение будет тем меньше, чем меньше было первоначальное отклонение OA', т. е. в этом случае положение равновесия будет устойчивым.
В других более сложных случаях вопрос об устойчивости состояния равновесия решается гораздо сложнее, и притом только при помощи исследования соответствующих дифференциальных уравнений. С вопросом об устойчивости равновесия тесно связан вопрос об устойчивости движения. Основоположные результаты в этой области принадлежат А. М. Ляпунову.
Пусть некоторый физический процесс описывается системой уравнений
jSl= У, 0» (5?)
-?-=/«(«. у> О-
Мы будем для простоты рассматривать только систему двух дифференциальных уравнений, хотя наши дальнейшие выводы остаются справедливыми и для систем с большим числом уравнений. Каждое частное решение системы (57), которое составляется из двух функций х (t) и у(t), мы будем иногда в этом параграфе, следуя А. М. Ляпунову, называть движением. Будем предполагать, что Д (х, у, t) и f2(x, у, t) имеют непрерывные частные производные. Доказано, что в этом случае решение системы дифференциальных уравнений (57) определяется однозначно, если в какой-нибудь момент времени t = t0 задать значения функций X {t0) = x0 и y(t0) = y0.
Будем обозначать через x(t, х0, у0), y(t, xQ, у0) решение системы уравнений (57), удовлетворяющее начальным условиям X = X0 и у = у0 при t = tu.
Решение x(t, х0, у0), y(t,xn, у0) называется устойчивым по Ляпунову, если для всех *>Z0 функции x(t, х0, у0), y(t, х0, у0) изменятся как угодно^мало, если достаточно мало изменить начальные значения X0 и у0.
Более точно: для решения, устойчивого по Ляпунову, разности
\x(t, 3? + ^, у0 + Ъ2) — x(t, х0, Уо) |,
(Do)
I y(t, ж0-И,, Уо + S2) — y(t, х0, у0) I § 7. Качественная теория
S9
можно сделать меньше любого заранее заданного числа є для всех моментов времени Z]>Z0, если только числа Sj и S2 взять любыми, но достаточно малыми по абсолютной величине.
Всякое движение, не являющееся устойчивым по Ляпунову, называется неустойчивым.
Исследуемое движение x(Z, х0, у0), y(t, х0, у0) Ляпунов называет невозмущенным, а движение x(t, X0-I-S1, у0-|-&2), y(t, X0 —f-, у0-|-<52) с близкими начальными условиями называет возмущенным движением. Таким образом, устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения означает, что при всех Z > Z0 возмущенное движение должно мало отличаться от невозмущенного.
Устойчивость равновесия есть частный случай устойчивости движения, соответствующий тому случаю, когда невозмущенное движение
x(t, X0, у0) = 0 и у (Z, х0, у0) = 0.
Обратно: вопрос об устойчивости какого-либо движения X = Ip1(Z) и у = ф2 (Z) системы (57) можно свести к вопросу об устойчивости равновесия для некоторой системы дифференциальных уравнений. Для этого вместо прежних неизвестных функций x(Z) и у (Z) в системе (57) введем новые неизвестные функции
^ = X-Ip1(Z) и TJ = ?/-Ip2(Z). (59)
В преобразованной таким образом системе (57) движению X = Ip1(Z) и ^ = Ip2(Z) будет соответствовать движение ? = 0 итз = 0, т. е. состояние равновесия. В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что преобразование (59) уже совершено, и будем рассматривать устойчивость по Ляпунову только решения х = 0 и у = 0.
Условие устойчивости по Ляпунову означает теперь, что на плоскости (х, у) траектория возмущенного движения не выходит ни при каком Z > Z0 из квадрата со сторонами 2в, параллельными координатным осям, и с центром в точке х = 0, у = 0, если S1 и S2 достаточно малы.
Нас будут интересовать те случаи, когда мы, не умея интегрировать систему (57), можем тем не менее делать заключения об устойчивости или неустойчивости невозмущенного движения. Весьма важные для практики вопросы об устойчивости движения снаряда, самолета, важные для небесной механики вопросы устойчивости орбит, по которым движутся планеты и другие небесные тела, сводятся к такого рода исследованиям.
