Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
25 Математика, т. 2 S 64
Глава XIV. Электронные вычислительные машины
При реализации методов на машине большее применение должны получить апостериорные оценки погрешности — оценки на основе вычисленного решения. Такие оценки могут включаться в программу вычислений; в зависимость от их результата может ставиться дальнейший ход вычислений. Так, например, если окажется, что погрешность недопустимо велика, может быть автоматически повторен расчет с вдвое уменьшенным шагом. В зтом отношении апостериорные оценки могут оказаться более удобными и реальными, чем априорные, которые неизбежно бывают завышенными и строятся значительно сложнее.
Возможность теоретического анализа задачи. Следует указать еще на одну возможность использования данных, полученных при численном решении задачи. Именно, по полученному приближению, применяя методы функционального анализа, можно судить о существовании и единственности решения, а также установить область расположения решения. Поскольку такое исследование при помощи чисто теоретических методов иногда чрезвычайно сложно и длительно и потому в частных задачах фактически неосуществимо, возможность использования для этой цели численных расчетов, производимых на машине, представляет несомненный интерес.
Новая проблематика в численных методах. Резкое увеличение вычислительных возможностей и накопление практики их использования вызвали к жизни новую проблематику в исследовании численных методов. Вместо единичных в прошлом случаев решения систем линейных уравнений с большим числом неизвестных такие системы становятся постоянным элементом при решении математических задач. Это сделало весьма актуальным вопрос о влиянии округления не только в коэффициентах, но и в процессе решения такой системы на точность определения неизвестных. Этому вопросу посвящен уже ряд интересных исследований.
Возможность численного интегрирования на машинах систем дифференциальных уравнений на большом интервале с малым шагом заострила вопрос о стабильности (устойчивости) процессов численного интегрирования уравнений. Опытный анализ этого вопроса и произведенное затем теоретическое исследование привели к существенной переоценке методов численного интегрирования дифференциальных уравнений.
Вопросы устойчивости имеют первостепенное значение также при применении разностных методов к уравнениям в частных производных.
Новые методы. Возможность использования машин приводит к появлению совсем новых типов приближенных и численных методов или делает вполне осуществимыми и практичными методы, ранее казавшиеся совершенно нереальными. Характерный пример этого — способ случайных проб (или, как его часто называют, «способ Монте-Карло»). Этот метод состоит в том, что для нахождения интересующей нас величины подыскивается вероятностная задача, решение которой (вероятность, § 4. Перспективы развития и использования
математическое ожидание) совпадает с искомой величиной. Для последней задачи решение находится экспериментально — случайными пробами, как среднее значение в ряде испытаний. Например, для определений площади фигуры, определяемой неравенством F (х, содержащейся
в квадрате (0,1; 0,1), нужно, выбирая в этом квадрате случайные пары (х, у), определить долю тех из них, для которых выполняется указанное неравенство. Конечно, такой способ был бы чрезвычайно мало эффективен, если бы эти пробы производились вручную, Но 1 если привлечь машины, то он становится вполне осуществимым. Сами пробй могут выполняться при помощи таблиц случайных чисел. Для некоторых задач, например для нахождения с небольшой точностью многомерных интегралов, такой способ может оказаться даже эффективнее другихі
Подобный же метод может использоваться для задачи обращения' матриц, если его применить к испытаниям подходящей цепи Маркова, а также при решении уравнения в частных производных, если указ&н связанный с ним стохастический процесс. .:.•,:.-•:)
Значение быстродействующих машин для математического анализа* механики и физики. В математическом анализе существенно больший интерес и практическое значение приобретет исследование многомерна» задач, относящихся к интегральным уравнениям и граничным задачам математической физики. Эти исследования и найденные методы решения не будут оставаться втуне, а смогут быть полностью реализованы благодаря использованию новых средств вычислительной техники, тем более; что систематическое решение таких задач становится сейчас 'Весьма* актуальным. .-...:! r.'irni
Естественно, что вновь разрабатываемые методы решения должны1 учитывать ВОЗМОЖНОСТИ ИХ осуществления. :!, ;
С другой стороны, возможность проведения, благодаря машин^ну многочисленных пробных расчетов, притом с достаточной точностью,1 чрезвычайно расширяет область применения и повышает эффективности «математического эксперимента» при предварительном исследовании математических задач. Это делает важным разработку методики применения данного пути исследования как в целом, так и в отдельных вопросах, например при качественном исследовании дифференциальных уравнений. у ;
