Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 14

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 157 >> Следующая


x = x(t), y = x'(t)

на плоскости (х, у); t здесь рассматривается как параметр. Обратно: каждой интегральной для уравнения (43) линии у = ^ (х) на плоскости

3 Математика, т. 2 34 |

Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения

(х, у) соответствует бесконечное множество решений вида x = x(t-\-t0) для уравнения (41); здесь Z0 — произвольное постоянное. Имея всю картину поведения интегральных линий уравнения (43) на плоскости, нетрудно представить себе также характер возможных решений уравнения (41). Каждой замкнутой интегральной линии уравнения (43) отвечают, например, периодические решения уравнения (41).

Подвергая уравнение (6) рассмотренному только что преобразованию посредством подстановки (42), мы получим уравнение

dy — ау — Ьх

dx ту

(45)

Полагая в уравнении (16) v = х и ^-=. у, аналогично получим

L dV __ — [ Д — M (аг + 2агх -f Зя3а;2) ] у — х „g.

dx у ' ^ '

Подобно тому, как в каждый момент состояние физической системы, соответствующей уравнению 2-го порядка (41), характеризуется двумя

величинами1 (фазами) х ну= , состояние физических систем, описываемых уравнениями более высокого порядка или системами дифференциальных уравнений, характеризуется большим числом величин (фаз). Вместо того, чтобы говорить о фазовой плоскости, тогда говорят о фазовом пространстве.

§ 6. ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Пусть точка P (х, у) лежит внутри области G, где мы рассматриваем дифференциальное уравнение

dy _ M (х, у) ,,

dx N(x, у) ¦ К '

Если можно указать такую окрестность H точки Р, через каждую точку которой проходит одна и только одна интегральная линия уравнения (47), то точку P называют обыкновенной точкой уравнения (47). Если же такой окрестности нельзя указать, то точку P называют особой точкой этого уравнения. Рассмотрение особых точек имеет большое значение для качественной теории дифференциальных уравнений, о которой мы расскажем в следующем параграфе.

Особенно большое значение имеют так называемые изолированные особые точки, т. е. такие особые точки, в некоторой окрестности кото-

a-r CLaX

1 Значения в тот же момент —-- -, . . . определяются по значению х и

dt2 dV>

dx из уравнения (41) и уравнений, полученных дифференцированием его [ср. dt

формулы (36)]. § 6. Особые точки

ІЬ,

рых нет других особых точек. В приложениях, они часто встреваютса при исследовании уравнений вида (47), где M (х, у) и N (х, у) — функции, имеющие непрерывные производные по X и у высоких порядков. Для таких уравнений все внутренние точки рассматриваемой области, где M (х, у) =^= 0 или N (х, у) =J= 0, являются обыкновенными точками. Рассмотрим какую-нибудь внутреннюю точку (X0, у0), где M (х, г/)=±=; =N (х, у) = 0. Для упрощения записи будем предполагать, что X0 = G-и у0 = 0. Этого всегда можно достигнуть, перенося начало координат в точку (х0, у0). Разлагая тогда M (х, у) и N (х, у) по формуле Тейлора по степеням X и у и ограничиваясь при этом членами первого порядка, получим в окрестности точки (0, 0)

dy_ _ м'х(0, 0) * + Mtv (0, 0)у + 91(х, у) (48)

dx ~ N'x (0, 0) X+ N111 (0, 0) у -f % (*, у) '

где Ip1 (х, у) и <р2 (х, у) — некоторые функции ОТ X и у, такие, что ;

IimJguM = O и lim4ifeL = 0.

х-уО \ХІ у2 ,^0 V^ -f 1/2

»-»О у-*О

Такой вид имеют уравнения (45) и (46). Уравнение (45) не определяет ни ни при х = 0 и у = 0. Если определитель

М'х{о, 0) л/;(0, 0) К (0, 0) ЛГ(О, 0)

=0,

то, как бы мы ни задали в начале координат, начало координат

- - dy dx ~

будет точкой разрыва для значении —j^ и , так как они будут

стремиться к различным пределам в зависимости от рыбора пути, по которому мы будем приближаться к началу. Начало координат является особой точкой для нашего дифференциального уравнения.

Доказано, что на характер поведения интегральных кривых около изолированной особой точки (у нас начала координат) стоящие в числителе и знаменателе функции Ip1 (х, у) и ip2 (х, у) не оказывают никакого влияния, если только действительные части обоих корней уравнения

IX — М'у (0, 0) — M'JO, 0)

! — iv; (0, 0) х—;v;(0, л>

:0 (49)

отличны от нуля. Поэтому, чтобы составить представление об этом поведении, изучим поведение около начала координат интегральных линий уравнения

dy __ ах -f- by (50)

dx сх -\-dy ' 36 |

Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения

для которого определитель

а Ь с d

* 0.

Заметим* что. характер расположения интегральных кривых в окрестности особой точки дифференциального уравнения представляет большой интерес для многих задач механики, например для исслёдования траекторий движений вблизи положения равновесия.

Дрказацо, ,.чго на плоскости всегда можно выбрать координаты с, и у), связанные с х и у равенствами

х = К? + К&> (51)

у~ kiljT

где Kj — действительные числа, так что уравнение (50) преобразуется к одному из следующих трех типов:

1) $ = 4 , где k = ^-. (52)

2) IH-lH-- (5з>

"З) ^=-Sig- '(54,

Здесь Xj и X2 — корни уравнения

с — X d I a b — X

= 0. (55)

Если эти корни действительны и различны, то уравнение (50) приводится к виду (52). Если эти корни одинаковы, то уравнение (50) приводится . или к виду (52), или к виду (53) в зависимости от того, будет ли-а2-}-rf2 = О или а2-{-«Р=^0. Если корни уравнения (55) комплексны, X = a±?i, то уравнение (51) приводится к виду (54).
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed