Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 13

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 157 >> Следующая


УЛХ)> УЛХ)> • • •> У«(х)> ¦ • ¦

Будет ли она сходиться к решению у(х)?

Более подробные исследования показывают, что в том случае, когда функция f(x, у) непрерывна и f ограничена в области G, функции у„{х) действительно будут стремиться к точному решению у (х), по крайней мере для х, мало отклоняющихся от х0. Если же мы прекратим вычисления на некотором достаточно далеком шаге, то сможем найти решение у (х) со сколь угодно высокой степенью точности.

Совершенно так же, как мы находили приближение интегральных линий уравнения (34), можно приближенно находить интегральные линии системы двух и большего числа дифференциальных уравнений 1-го порядка. Существенно необходимым условием для этого является условие возможности разрешения этих уравнений относительно производных от всех неизвестных функций. Пусть, например, дана система

-?- = /1 («. 2/. *). ? = fa(x, у, z). (37)

Предполагается, что правые части этих уравнений непрерывны и имеют ограниченные производные по у и по z в некоторой пространственной области G. Можно доказать при этих условиях, что через 32 | Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения

каждую точку (ж0, уи, z0) области G, где заданы правые части уравнений (37), проходит одна и только одна интегральная линия

у = ^ (ж), z = \{x)

системы (37). Функции Z1 (ж, у, Z) и /2(ж, у, z) суть угловые коэффициенты в точке (х, у, г) касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Для приближенного нахождения функций 9 (ж) и ф (ж) можно применять метод ломаных Эйлера и другие методы, аналогичные тем, какие применимы, к уравнению (34).

Процесс приближенного вычисления решений обыкновенных дифференциальных уравнений но начальным условиям может проводиться на счетных машинах. Существуют электронные машины, работающие настолько быстро, что, например, если программа вычислений уже составлена и машина подготовлена к счету, траектория снаряда может быть вычислена в гораздо более короткий промежуток времени, чем тот, за который снаряд долетает до места назначения (см. главу XIV).

Связь между дифференциальными уравнениями разных порядков и системой большего числа уравнений 1-го порядка. Система обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенная относительно старших производных от всех неизвестных функций, вообще говоря, может быть при помощи введения новых неизвестных функций сведена к системе уравнений 1-го порядка, разрешенной относительно всех производных. Пусть, например, дано дифференциальное уравнение

A -fix v

dxi —> Г' У' dxj-

Положим

d^ =Z. dj-

Тогда уравнение (38) можно записать в виде

-g=/(ж, у, Z).

Таким образом, каждому решению уравнения (38) соответствует некоторое решение системы, состоящей из уравнений (39) и (40). Легко видеть также, что каждому решению системы уравнений (39) и (40) соответствует решение уравнения (38).

Уравнения, не содержащие независимой неременной явно. Задачи о маятнике, акустическом резонаторе Гельмгольца, простейшем электрическом контуре, ламповом генераторе, рассмотренные в § 1, приводят к дифференциальным уравнениям, в которые независимая переменная (время) не входит явно. Сейчас мы говорим об уравнениях такого вида потому, что изучение соответствующих им дифференциальных уравнений 2-го порядка можно свести к изучению дифференциальных уравнений 1-гюрядка, а не к системе уравнений, как это было

(38)

(39)

(40) § 5. Существование и единственность решения

33

сделано в предыдущем пункте для общего уравнения 2-го порядка.: Такое сведение сильно облегчает исследование.

Итак, пусть дано дифференциальное уравнение 2-го порядка, не содержащее аргумента t в явной форме



dx d'lx1

"Л ' d*) = °- <41)

(42)

Обозначим

dx

чг=у

и будем рассматривать у как функцию х, тогда

d%x _ d j dx \ _ dy _ dy dx _ dy

~dii ~dt \~dt~) ~dt ~dx ' ~dt У ~dx '

Поэтому уравнение (41) можно переписать в виде

f(x> у> уж)=0- <43>

Таким образом, каждому решению уравнения (41) соответствует единственное решение уравнения (43). Каждому же решению у = <р (х) уравнения (43) соответствует бесконечное множество решений уравнения (41). Эти решения можно найти, интегрируя уравнение

¦? = *<*). (44)

где X рассматривается как функция от t.

Ясно, что если какая-нибудь функция х = х (Z) удовлетворяет этому уравнению, то ему удовлетворяют также все функции х (Z -f- Z0), ^де Z0 — произвольное постоянное.

Может случиться, что не вся интегральная линия уравнения (43) является графиком одной функции от х. Так будет, например, если эта линия замкнута. Тогда эту интегральную линию уравнения (43) надо разбить на несколько кусков, каждый из которых является графиком функции от х. Для каждого из этих кусков надо интегрировать свое уравнение (44).

Величины X и , характеризующие в каждый момент состояние

физической системы, соответствующей уравнению (41), называются ее фазами. Соответственно этому плоскость (х, у) называется фазовой плоскостью для уравнения (41). Каждому решению x = x(t) этого уравнения соответствует линия
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed