Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
321
метрических полиномов
п
tn(x) = а0 -j- 2 (? cos kx -j- (? sin Аж)
і
порядка п.
От полученного результата и теоремы Фейера, еформуляровднаой в § 7, мы перейдем еще к одному замечательному фадсту.
Пусть f(x)— непрерывная периода функция и <sn(x) — ее суши Фейера га-го порядка, определенная в § 7 равенством (27). Введем обозначение
max I/(ж) — <зп{х)\ = гт.
Так как суммы Фурье Sk (х) (к= 0, 1,..., га) — тригонометрические многочлены порядка к ^n, то очевидно, <т„ (х) — тригонометрический многочлен порядка п. Поэтому в силу доказанного выше минимального свойства суммы S„(x) справедливо неравенство
It КГ
f If(X)-Se(X)Fdz^ J[f(x)-*„(x)fdx^ =
-ЇГ —« —п
Так как по теореме Фейера величина гт стремится ^c нулю пр* ь-*-со, то мы получили следующий важный результат.
Для любой непрерывной периода 2тс функции имеет мест» juntnif
CTBO
tz
lim ([/(*) — SH(x)fdx = $.
В этом случае говорят еще, что сумма Фурье га-го порядка непрерывной функции f(x) стремится к f(x) при неограниченном возрастании га в смысле среднего квадратического.
Впрочем, на самом деле этот факт имеет место для более Jttpe-кого класса функций, интегрируемых вместе со двоими квад^домш* ио Лебегу.
Мы на этом остановимся и не будем приводить другие интересные факты из теории рядов Фурье и ортогональных функций, базирующейся на методе приближения в смысле среднего квадратического. G важными физическими примерами ортогональных систем функций читатель познакомился в главе VI. Наконец, отметим, что по существу этиад вопросам в несколько другой трактовке уделено много внимания и 8 ГДОВе XIX (том 3).
21 Мат IfIiIIiWL. Т. S "322
Глава XII. Приближение функций
ЛИТЕРАТУРА Специальные монографии
А X и е з е р Н. И. Лекции по теории аппроксимации. Гостехиздат, 1947.'
Монография, содержащая, наряду с основными предложениями теория приближения функций, ряд более специальных и тонких вопросов. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. Изд. 2-е,
Гостехиздат, 1954. Натансон И. И. Конструктивная теория функций. Гостехиздат, 1949.
Последние две книги содержат основы теории приближения функций.
Никольский С. М. Приближение многочленами функций действительного переменного. Математика в СССР за тридцать лет (1917—1947). Гостехиздьц 1948.
Подробный обзор работ советских математиков в этой области. Глава XIII
ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
§ 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Характерные особенности приближенных методов. Во мнОгих ейу-чаях применение математики к изучению явлений внешнего Mitpa основывается на том, что законы, управляющие этими явлениями, имеют количественный характер и могут быть записаны в виде некоторых формул, уравнений или неравенств. Это дает возможность численным путем исследовать сами явления и делать столь необходимые для практики расчеты.
После того как количественный закон найден, можно уже пользоваться чисто математическими методами исследования. Для определенности изложения мы будем иметь в виду какой-либо закон, записанный в форме уравнения. Это может быть закон движения тела в ньютоновой механике, закон распространения тепла или распространения электромагнитных колебаний и т. п. О таких уравнениях подробно говорилось в главах V и VI. К уравнению обычно присоединяются еще дополнительные условия того или иного вида (в главах V и VI это были граничные и начальные условия), определяющие каждое отдельное решение уравнения.
Первыми и основными математическими задачами здесь будут следующие:
1) Установить разрешимость задачи. Даже если разрешимость задачи довольно очевидна с физической точки зрения, математическое доказательство разрешимости строго формулированной задачи обычно является свидетельством правильности самой математической постановки задачи. Установить разрешимость удается в широком классе случаев. '
2) Попытаться найти явное выражение в виде формулы для величины, характеризующей изучаемое явление. Такое выражение обычно удается найти лишь в небольшом числе самых простых случаев. При атом не едко оказывается, что явное выражение решения получается настолько сложным, что пользоваться им для исследования явления и нахождения необходимых числовых характеристик весьма затруднительно, а порою даже и совсем невозможно.
21* 324
Глава XIII. Приближенные методы и вычислительная техника
3) Указать процесс, при помощи которого можно было бы построить приближенную формулу, дающую решение с какой угодно заданной степенью точности. Последнее удается в широком классе случаев.
4) Наиболее же часто бывает возможно указать один или несколько приемов, позволяющих найти численным путем нужное решение задачи.
Развитие таких численных и, отчасти, приближенных методов решения проблем естествознания и техники является задачей особой ветви математики, которую сейчас обычно называют вычислительной математикой.
Методы вычислительной математики, разумеется, приближенные методы, так как всякую величину мы можем при помощи вычислений найти только с точностью до определенного числа значащих цифр, например на пять, шесть и т. д. десятичных знаков.
