Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
29
Рис. 9.
Эйлера и в сторону убывающих х (соответствующие угловые точки на нашем рисунке обозначены —1, —2, —3).
Естественно ожидать, что каждая из проходящих через точку (ж0, у0) ломаных Эйлера с достаточно короткими звеньями дает некоторое представление об интегральной кривой /, проходящей через точку (х0, уй), и что при уменьшении длин звеньев, когда длина наибольшего звена стремится к нулю, ломаные Эйлера будут приближаться к этой интегральной кривой.
При этом предполагается, конечно, что такая интегральная линия существует. В самом деле, не трудно показать, что если в области G функция / (х, у) непрерывна, то можно выбрать бесконечную последовательность ломаных Эйлера, у которых длина наибольшего звена
стремится к нулю, причем эта последовательность сходится к некоторой интегральной кривой I. Однако при этом, вообще говоря, может не оказаться единственности: могут существовать различные последовательности ломаных Эйлера, которые будут сходиться к различным интегральным кривым, проходящим через одну и ту же точку (т0, у0). М. А. Лаврентьев построил пример такого дифференциального уравнения вида (29) с непрерывной функцией f(x, у), у которого в любой окрестности любой точки P области G через точку P проходит не одна, а по крайней мере две интегральные линии. Для того чтобы через каждую точку области G проходила только одна интегральная линия, необходимо предъявить к функции / (.т, у) дополнительные требования сверх требования быть непрерывной. Достаточно, например, предположить, что функция / (х, у) непрерывна и имеет ограниченную производную по у во всей области G. В этом случае можно показать, что через каждую точку области G проходит одна и только одна интегральная линия и что всякая последовательность ломаных Эйлера, проходящих через точку (х0, у0), равномерно сходится к этой единственной интегральной линии, когда длина наибольшего звена ломаной стремится к нулю. Поэтому при достаточно малых звеньях ломаную Эйлера можно приближенно принять за интегральную линию уравнения (34).
Из предыдущего видно, что ломаные Эйлера строятся так, что малые куски интегральных линий заменяются отрезками прямых, касательных к этим интегральным линиям. На практике часто приближения для интегральных линий дифференциального уравнения (34) составляются не из отрезков прямых, касающихся интегральных линий, а из отрезков парабол, имеющих более высокий порядок касания с интеграль- 30 |
Глава V. Обыкновенные дифференциальные уравнения
ними кривыми. Таким образом, удается получить приближенное решение с такой же точностью при меньшем числе шагов (меньшем числе звеньев, из которых составляется приближенная линия). Коэффициенты уравнения параболы
у = а0 + O1 (х — xk) + а2 (х — xkf -----а„ (х — хк)п, (35)
имеющей в точке (xk, ук) касание и-го порядка с проходящей через эту точку интегральной линией уравнения (34), даются следующими формулами:
O0 = Vk, (36)
(36')
— f'x(xk, yk) + f'p(xk, yk)f{xk, ук), (36")
6«з = (SLi= {Ш^ *<*» + ?(*. *<*»/& У(*))
—/L{xk, ук) -\- (хк, yk)f{xk, ук)-\-
+ /^(?. Ук)/2(хк, У к) jTflixk, yk)f(xk, ук)-\-/„(хк, ук)/х(хк, ук) (36"')
и т. д. Многочлен (35) нам нужен только для того, чтобы вычислить его значение при x = xk+J. Значения же самих коэффициентов а0, а1У а2, ..., ан нам не нужны. Существует много способов вычисления значения многочлена (35) при х = хк+1 с коэффициентами, определенными по формулам (36), минующих вычисление самих коэффициентов а0, O1, ..., ап-
Существуют приближенные способы разыскания решений дифференциального уравнения (34), основанные и на других идеях. Один из удобных способов разработан академиком А. Н. Крыловым (1863—1945).
Метод последовательных приближений. Мы остановимся сейчас еще на методе последовательных приближений, имеющем столь же широкую область применения, как и метод ломаных линий Эйлера. Вновь будем считать, что нам нужно найти решение у (х) дифференциального уравнения (34), удовлетворяющее начальному условию
У (*о) = Уо-
Примем за исходное приближение к решению у (X) произвольную функцию у0 (X). Для простоты будем считать, что она также удовлетворяет начальному условию, хотя это и не обязательно. Подставим ее в правую § 5. Существование и единственность решения
31
часть уравнения f(x, у) вместо неизвестной функции у и построим первое приближение ух к решению у по следующим требованиям:
S = %(2O)' УЛхй)-Уй-
Так как в правой части первого из равенств стоит известная функция у1 (х) можно найти при помощи интегрирования
X
2/i(z) = 2/0+ //('« 2/0(t))dt.
»0
Можно ожидать, что у1{х) будет меньше отличаться от решения у (х), чем у0 (х), так как нри построении ?/, (х) мы воспользовались дифференциальным уравнением и оно, вероятно, должно исправить погрешности исходного приближения. Можно думать также, что если мы тем же способом улучшим первое приближение (ж), то второе приближение
X
2/2(*) = 2/о+ //(*> VMdt
®0
будет еще ближе к разыскиваемому решению.
Допустим, что такой процесс улучшения мы будем продолжать неограниченно далеко, и построим последовательность приближений
