Математические трактаты - Аль-Фараби
Скачать (прямая ссылка):
Перечисление математических наук 49
сел, изображаемыми плоскими фигурами. Впоследствии, когда алгебраисты стран ислама стали изучать кубические уравнения, они вернулись к названию аль-Хорез-ми.
49 Здесь аль-Фараби подчеркивает, что коэффициентами алгебраических уравнений могут быть не только целые числа, как у аль-Хорезми, но и непрерывные геометрические величины.
50 «Начала» Евклида — здесь Истиксат (см. примечание 26). X книга «Начал» посвящена теории квадратичных иррациональ-ностей. Здесь аль-Фараби, по-видимому, имеет в виду проводившуюся рядом математиков X в. арифмети-зацию и алгебраизацию результатов X книги «Начал» и аналогичных результатов для более общих иррациональностей, о которых говорилось в V книге «Начал».
51 Термины аль-Фараби «рациональные числа» (ал-'адад мунти-ка) и «иррациональные числа» (ал-'адад самма) указывают, что здесь он понимает слово «число» в более широком смысле, чем натуральное число, предвосхищая тем самым обобщение понятия числа,
4-61
Аль-Фараби
произведенное в XI в. Омаром Хайямом в его «Комментариях к трудностям во введениях книги Евклида». Словом «величина» здесь переведено слово узм, буквально — «великость». Поэтому, говоря о том, что отношения несоизмеримых величин выражаются отношением натуральных чисел, аль-Фараби имеет в виду выражение отношений несоизмеримых величин с помощью обобщенных чисел. Другой перевод этого места по средневековому латинскому переводу см. в упомянутой книге Г. П. Матвиевской «Учение о числе», стр. 246.
Расширение понятия числа в данном случае естественным образом связано аль-Фараби с предметом алгеброй, так как одним из объективных стимулов в расширении понятия числа явились многочисленные попытки числового решения задач алгебраического характера. Определенный намек на расширение понятия в философском плане имеется в трактате аль-Фараби «О происхождении наук», где он определяет числа как отношения одних частей субстанции к другим частям.
Перечисление математических наук 51
52 Руководство строительством — рийаса ал-бина — составление проектов архитектурных сооружений.
53 Здесь аль-Фараби не упоминает геометрических построений, которым посвящен его трактат, указанный в примечании 47, откуда нидію, что он занялся этим видом ¦духовных искусных приемов» после окончания этого трактата.
54 Под луками (кус, мн. число аквас) и другими видами оружия здесь, по-видимому, подразумеваются баллисты, катапульты и другие стенобитные орудия.
55 В каирском издании на месте слова «весов» (авзан, мн. число от слова вазн — «вес») стоит пиан—«времени». Мы читаем это слово как авзан в соответствии со средневековым латинским переводом (Г. П. M а т в и е в с к а я. «Учение о числе», стр. 106); если правильным чтением является аван, то здесь имеются в виду приборы для определения времени: солнечные часы, клепсидры или астролябии.
Книга приложений
к „Алмагесту" (тригонометрические главы)1
Г л а в a I
160 И О свойствах хорды и синуса
ABC — круг, его центр — Б, его диаметр — AC [рис. 4]. Проведем EB под прямым углом из точ-
[Рис. 4].
ки Е. Зададимся дугой AG, проведем линии AG и GD перпендикулярно к AC и GH — перпендикулярно к BE9 соединим GhC Тогда дипия AG — хорда дуги AG7 GC-
56
Аль-Фараби
хорда ее дополнения, GD — синус дуги AG9 GH — ее косинус, равный линии DEy AD — стрела дуги AG; BH— стрела дуги GB9 дуга GB — дополнение дуги AG до четверти круга, дуга GBC — дополнение AC до половины круга. Это то, что мы хотели объяснить.
Глава II
J нахождении величины хорды дополнения дуги, если известна хорда дуги3
Пусть ABC — круг, его диаметр — AC [рис. 5]. Зададимся его дугой AB, проведем линии AB и ВС. Будем считать хорду AB известной. Тогда я утверждаю, что и хорда ВС известна.
Доказательство этого. Угол ABC — прямой, потому что он вписан в полукруг. Поэтому квадрат AC равен квадратам AB и BC9 и если отнять квадрат AB из квадрата AC9 останется квадрат ВС [и, следовательно, он] известен. Поэтому корень из него, т. е. хорда BC9 иззестен. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Будем иметь в виду, что каждая хорда относится к диаметру
Тригонометрические главы
57
круга как синус половины дуги этой хорды к полудиаметру круга,
[Рис. 5].
потому что если мы разделим линию AB в точке D пополам и проведем линию DEy причем E — центр круга, то DE параллельна ВС в силу равенства углов BCA и DEA; AD — синус половины дуги AB и поэтому BA относится к AC как DA к AE. Отсюда всякое вычисление с помощью хорды и диаметра сводится к вычислению с помощью синуса половины этой Дуги 4.
Это то, что нам следовало знать.
5В
Аль-Фараби
Глава IH
О нахождении величины хорды четверти [круга]6
Пусть ABC — круг, его центр Е, его диаметр АС; проведем EB под прямым углом [рис. 6]. Соединим А и В, В и С. Каждая из дуг AB и ВС равны четверти [круга], поэтому каждая из линий AB, ВС будет хордой четверти [круга]. Я 161 утверждаю, Il что они известны.
в
[Рис. 6].
Доказательство этого. Поскольку угол AEB прямой, то квадрат AB равен квадратам AE и ЕВ; но каждая из [линий] AE и EB — по-
