Математические трактаты - Аль-Фараби
Скачать (прямая ссылка):
28 Построение правильного восьмиугольника с данной стороной отсутствует у Евклида. Построение аль-Фараби сводится к построению равнобедренных прямоугольных треугольников, гипотенуза которых равна данной стороне.
Книга духовных искусных приемов... 223
29 Здесь та же задача решается линейкой и циркулем постоянного раствора, равного данной стороне.
30 Построение правильного де-вятиугольника с данной стороной отсутствует у Евклида, сторона правильного девятиугольника точно не может быть построена с помощью циркуля и линейки. Здесь аль-Фараби не отмечает приближенного характера своего построения.
31 Построение правильного десятиугольника с данной стороной отсутствует у Евклида. Построение аль-Фараби сводится к построению радиуса описанного круга, являющегося большим отрезком при делении этого радиуса и данной стороны в среднем и крайнем отношении, что вытекает из предложения 9 книги XIII «Начал» Евклида (т. III, стр. 114).
32 Здесь та же задача решается линейкой и циркулем постоянного раствора, равного данной стороне.
33 Здесь аль-Фараби еще раз упоминает о геометрических основах искусств ремесленников.
34 Эта задача является частным случаем задачи предложения 2 книги IV «Начал» Евклида для
224
Аль-Фараби
равностороннего треугольника. Построение аль-Фараби опирается на предложение 15 книги IV «Начал» Евклида о построении вписанного правильного шестиугольника (т. Ї, стр. 138).
35 Эта задача является частным случаем задачи предложения 3 книги IV «Начал» Евклида для равностороннего треугольника, (т. I, стр. 124).
36 Совпадает с построением предложения 6 книги IV «Начала Евклида (т. I, стр. 128).
37 Здесь та же задача решается линейкой и циркулем постоянного раствора, равного радиусу круга. Далее приводятся еще три решения той же задачи линейкой и циркулем того же раствора.
38 По существу совпадает с построением предложения 2 книги iV «Начал» Евклида (т. I, стр. 133). Указанное построение аль-Фараби и доказательство его правильности имеется в 1 предложении книги I «Алмагеста» Птоломея (Ptolemaus, Handbuch der Astronomie, стр. 25).
39 Здесь та же задача решается линейкой и циркулем постоянного раствора, равного радиусу круга.
Книга духовных искусных приемов... 225
Далее приводится еще одно решение той же задачи.
40 Совпадает с построением предложения 15 книги IV «Начал» Евклида (т. I, стр. 138).
41 Здесь аль-Фараби отмечает, что построенная им дуга— «одна седьмая круга приблилсенно, а не точно».
42 Здесь приводятся фактически два способа построения вписанного правильного десятиугольника.
43 Совпадает с построением предложения 5 книги IV «Начал» Евклида (т. I, стр. 126). Далее приводится еще одно решение этой же задачи.
44 Совпадает с построением предложения 9 книги IV «Начал» Евклида (т. I, стр. 131).
45 Задача совпадает с предложением 14 книги IV «Начал» Евклида (т. I, стр. 138), но в отличие от Евклида, находившего центр описанного круга в пересечении двух биссектрис, аль-Фараби находит его в пересечении двух перпендикуляров, восставленных в серединах сторон.
46 Построение опирается на тот факт, что сторона вписанного пра-
226
Аль-Фараби
вильного многоугольника равна радиусу круга.
47 Совпадает с построением предложения 4 книги IV «Начал» Евклида (т. I, стр. 125).
48 Здесь приводится построение квадрата, описанного около пятиугольника таким образом, что четыре вершины пятиугольника находятся на сторонах квадрата, а пятая вершина — на диагонали квадрата, и построение правильного пятиугольника, вписанного таким же образом в квадрат. Второе построение состоит в том, что строится пятиугольник, сторона которого находится в таком отношении к стороне данного квадрата, что прямая QR проходит через середину стороны MN; строится квадрат, описанный около пятиугольника, и искомый пятиугольник получается из построенного пятиугольника увеличением его сторон в том же отношении.
49 Здесь приводятся построения треугольников, больших или меньших данного в указанное число раз. В первом и третьем случаях, когда строящийся треугольник подобен данному, это преобразование треугольников является гомотети-
Книга духовных искусных приемов... 227
ей: в первом случае с центром в одной из его вершин, в третьем — в одной из внутренних точек треугольника. Во втором случае преобразование треугольников представляет собой растяжение от прямой.
50 Здесь приводятся семь способов деления четырехугольников пополам.
51 Здесь рассматриваются девять задач отделения от трапеции ее трети и другой доли и разделение ее пополам.
52 Построение является гомотетией с центром в центре квадрата.
53 Здесь приводятся пять задач разделения квадрата, треугольника и трапеции на две и три равные части и на треть и две трети «с оставлением пути». Это задачи на раздел земельных участков с оставлением подхода данной ширины к новым участкам. Построения аль-Фараби правильны только при определенной ширине пути.
54 Построение квадрата из т2+п2 равных квадратов основано на соотношении т2 + п2 = {т—п)2+
+ 2 тп.
55 «Способ геометров» построения квадрата, равновеликого сум-
