Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аль-Фараби -> "Математические трактаты" -> 28

Математические трактаты - Аль-Фараби

Аль-Фараби Математические трактаты — Наука, 1972. — 318 c.
Скачать (прямая ссылка): matemattraktat1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 52 >> Следующая

Пример этого. Если мы хотим разделить квадрат на восемь квадратов, проведем его диагонали; тогда получим четыре равных треугольника. Построим из каждых двух треугольников квадрат; тогда получим два квадрата. Далее разделим каждую из сторон двух квадратов на две равные части и соединим противоположные места деления прямыми линиями. Тем
Книга духовных искусных приемов... 185
самым мы построим восемь равных квадратов. Вот рисунок этого [рис 143].
[Рис 143].
[X] Точно так же, если мы хотим разделить квадрат на восемнадцать равных квадратов, || проведем его диагонали, [получим четыре равных треугольника], построим на этом чертеже из них два квадрата. Далее разделим каждую из сторон двух квадратов на три равные части и соединим места деления. Получатся восемнадцать квадратов с равными сторонами. Вот рисунок этого [рис. 144].
[Рис 144].
[XI] О разделении квадрата на квадраты, число которых состоит из двух неравных квадратов. Что-
186
Аль-Фараби
бы разделить квадрат на число [квадратов], состоящее из двух различных квадратов, разделим одну из сторон квадрата на равные части, их число равно стороне большего квадрата, из которых состоит данное число. Далее отложим на каждой стороне [данного квадрата] от его вершин в одну сторону [линию], равную стороне меньшего квадрата, и проведем из каждого угла квадрата к противоположному месту деления прямые линии; получатся квадрат в середине и четыре треугольника, окружающие этот квадрат. Этот квадрат равен квадрату разности сто-46 об. рон [квадратов]. Разделим || стороны этого квадрата на число частей, равное разности; получится число квадратов, равное квадрату разности. Что касается треугольников, то если [соединить] их по два, получатся прямоугольники, длины которых равны стороне большого квадрата, а ширины равны стороне меньшего из двух квадратов. Поэтому если построить эти два прямоугольника и разделить их стороны на число частей, равное сторонам квадратов, то получатся остальные искомые квадраты.
Книга духовных искусных приемов... 187
Пример этого. Если мы хотим разделить квадрат на десять квадратов, мы находим, что десять состоит из двух квадратов — единицы и девяти, причем сторона [одного] — три, а сторона другого — единица. Разделим одну сторону квадрата на три равные части, отложим на каждой стороне [отрезок], равный единице, проведем из [противоположных] углов к местам деления прямые линии; получатся квадрат в середине и четыре треугольника, окружающие этот квадрат. Вот рисунок этого [рис. 145]. Далее разделим сторону квадрата, который в середине, на два, т. е. на раз-кость сторон квадратов, Il из которых состоит десять.
Проведем (из мест деления) параллельные линии: в сере- fPHCe 145J-дине получатся четыре квадрата. Построим из каждых двух треугольников прямоугольники, длина которых — три, а ширина — единица, и разделим их на три квадрата; получатся десять квадратов.
[XII] Точно так же, если мы
188
Аль-Фараби
хотим разделить квадрат на двадцать квадратов, то двадцать состоит из двух квадратов: один из них — шестнадцать [его сторона — четыре], а второй — четыре, его сторона — два. Разделим сторону квадрата на четыре равные части, отложим на сторонах [линии], равные [стороне] второго [квадрата], и проведем линии из углов [к местам деления]; получатся квадрат, сторона которого — разность сторон двух квадратов, и четыре треугольника, окружающие его. Из каждых двух из этих треугольников, окружающих [квадрат], составим прямоугольник, длина которого — четыре и ширина — два. Квадрат, находящийся в середине, разложим на четыре квадрата, а из двух прямоугольников — шестнадцать квадратов. По-[Рис. 146]. ручается двадцать квадратов. Вот рисунок этого [рис. 146]. 47 об. [XIII] Il Методы разделения квадратов, [число которых] состоит из двух квадратов, нельзя переносить на составление квадратов и
Книга духовных искусных приемов... 189
их разделение, если число квадратов не состоит из двух квадратов. Многие геометры и ремесленники ошибались в построениях этих квадратов и в их составлении: геометры в силу недостаточной практики, а ремесленники — из-за того, что им не хватало знаний о доказательствах. Так как геометры не знают [практических] методов построений, то с помощью доказательств на линиях им трудно найти правильные способы приближенных построений.
Что же касается ремесленников, то, когда они находят приближенное построение, они получают то, что мы ощущаем и видим, не обращая внимания на доказательства с помощью линий и на геометров. Тот, кто получает доказательство чего-либо с помощью теоретического рассуждения, не проверяет истинности этого на практике. Я не могу сомневаться в том, что все, что знает ремесленник,— это факты, доказанные геометрами, и что доказательства показывают истинность этого. Но ремесленник и землемер рассматривают сущность дела и не думают о том, как доказать это, поэтому они допускают Il ошибки. Что же касает-
190
Аль-Фараби
ся геометров, то им известна истина того, что мы хотим получить при помощи доказательства, если они доказывают то, чем пользуются ремесленники и землемеры. Для геометров характерно то, что, когда их спрашивают о разделении фигур и умножении линий, они приходят в замешательство и им нужно много времени для размышления. Иногда это приближает их к решению, а иногда нет. Я присутствовал при некоторых спорах, в которых участвовали и ремесленники, и геометры. Их спрашивали о построении квадрата из трех квадратов. Что касается геометра, то он легко находил сторону квадрата, состоящего из трех квадратов. Но это не удовлетворяло ремесленников, так как ремесленнику нужно разделить эти три квадрата на части, из которых составлялся бы один квадрат, как это имело место в случае двух и пяти квадратов.55 Что же касается ремесленников, то они предложили несколько способов для этого. Для некоторых из них были приведены доказательства, а остальные оказались ложными. Те, для которых доказательства нельзя было привести, казались очень близкими к
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed