Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аль-Фараби -> "Математические трактаты" -> 13

Математические трактаты - Аль-Фараби

Аль-Фараби Математические трактаты — Наука, 1972. — 318 c.
Скачать (прямая ссылка): matemattraktat1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 52 >> Следующая

Здесь аль-Фараби дает определения хорды, линии синуса, линии косинуса и стрелы, причем соотношения между хордами и тригонометрическими линиями характеризуются параллельно. Он рассматривает линии синусов и косинусов в первой четверти, а хорды, как и Птоломей,— в верхней полуокружности.
В дальнейшем мы будем обозначать линии синуса и косинуса дуги a, sina и cosa, а хорду дуги a — chda.
3 Здесь аль-Фараби дает построение по хорде дуги а хорду дуги 180°— а.
4 Здесь доказывается, что
6-61
S2
Аль-Фараби
chda ~2R
R
откуда
chda 2sin-|-. ^
С помощью этого соотношения всю тригонометрию хорд греков можно перевести на язык синусов и косинусов.
5 Здесь указан способ вычисления хорды 90°. Доказывается, что chd 90°=Д]/2, откуда в силу (1)
6 Здесь геометрически доказывается, что
гі2 = (2Д)2 = 4Д2.
7 Здесь указан способ вычисления хорды 120°: chd 120°=Д уB9
откуда в силу (l)sin60°= chd 120°=
si А
8I77 RYJ 2 *
8 Здесь указан способ вычисления хорд 36 и 72°. Доказательство совпадает с доказательством Пто-ломея в 1 книге «Алмагеста*
ein 45° =
chd 90° = R Vz 2 2
Тригонометрические главы 83
(Cl. P t о 1 е m a u s. Handbuch der Astronomie, ubers. A. Manitins, т. I, Leipzig, 1963, s. 27).
Доказывается, что chd 720==ДХ
chd 360 = R^Ct=Iy 2
откуда в силу (1)
sin 36°=c-^=f /^ZI
sin i8o_^J?eAvS.
2 2 2
9 Это 6 предложение II книги «Начал» (Евклид. «Начала», т. I, стр. 67—68).
10 Это известная теорема Птоло-мея, доказанная им в I книге «Алмагеста» (Cl. Ptolemaus. Handbuch der Astronomie, т. I, s. 28).
Доказательство аль-Фараби совпадает с доказательством Птоло-мея.
11 Это предложение и его доказательство имеются в «Алмагесте» Птоломея (Cl. Ptolemaus. Handbuch der Astronomie, т. I, s. 29).
84
Аль-Фараби
Доказанное здесь правило равносильно нашей формуле
sin(a—?) = sina • cos?—sin?X Xcosa.
12 Это предложение и его доказательство имеются в «Алмагесте» Птоломея (Cl. P tо 1 еmаus. Handbuch der Astronomie, т. I, s. ЗО).
Доказанное правило равносильно нашей формуле:
sin2 -^- = 1 — cos а.
13 Это предложение и его доказательство имеются в «Алмагесте» Птоломея (Cl. Ptolemaus. Handbuch der Astronomie, т. I, s. 32).
Доказанное правило равносильно нашей формуле:
sin(a + ?)=sina • cos? + sin? • cosa.
14 Это предложение и его доказательство имеются в «Алмагесте» Птоломея (Cl. P t о 1 е m а и 8.
Тригонометрические главы 85
Handbuch der Astronomie, т. I, s. 33).
Здесь показано, что если a>?,
то
chd а а choff T '
что равносильно тому, что если a>?, то
sin a ^ а sin? ""У
15 Присоединение отношения — таркиб ан-нисба, переход от отно-
A A-VB
шения -g- к отношению —¦g— и от
А С
пропорции -g- =-р к пропорции
—¦g— —— определяется в 14
определении V книги «Начал» (E в к л и д. «Начала», т. I, стр. 144). Аналогичным образом и для неравенства отношений, например, А С
от -jf > , присоединение отноше-
A[B . C-VD ния приводит к - в > —•
16 Выделение отношения — таф-сил ан-нисба, переход от отноше-
86
Аль-Фараби
ния -g- при А>В к отношению
A-B AC
—¦g— и от пропорции -g- = -^- к
A-B C-D пропорции —^— = —^— определяется в 15 определении V книги «Начал» (Евклид, т. I, стр. 144). Аналогичным образом и для неравенств отношений, например, от
А С
~ > выделение отношения при-
A-B C-D9 водит к —g— —^—
17 Здесь аль-Фараби, следуя Птоломею, сначала находит хорду дуги разности 72°—60°=12°, а затем последовательно определяет хорды 6, 3, 1!/г и 3Д°.
18 Здесь аль-Фараби получает неравенства:
chdl°:chd -|! < 1: -|-f chd 1° < -|- chd -|~ ~ 1^49^2'" и
chd-|^:chdl°< -f-: 1, chdl°> \ chd -f - ~ 1Р2'49"48'".
Тригонометрические главы 87
Таким образом, по аль-Фараби, 1р 2'49"48'"< chdl° < 1р 2'49"52'".
За приближенное значенні хорды 1° аль-Фараби принимает chdl°«lp 2'49"5U'".
Хотя метод вычисления crdl# у аль-Фараби совпадает с методом Птоломея, аль-Фараби улучшает точности вычислений Птоломея, который за значение chdl° принял lp 2'5U".
19 Здесь аль-Фараби по значению
chdl°«lp2'49"5O" находит chdl79°~ 119^943^33^, откуда
sinl°«lp2,49/,43/// и cosl0« «59р 59^7^30^.
20 Здесь аль-Фараби имеет в виду вычисление хорд 2, 3, 4° и т. д. до 180° с помощью правила хорды суммы двух дуг, что равносильно вычислению синусов от ХІ2 до 90е через 1/2°.
21 Гномон (микйас) — измерительный шест, с помощью теней которого определялись линии тангенсов и котангенсов.
22 Эта глава представляет большой интерес для предыстории учения о тригонометрических линиях. Здесь аль-Фараби, сохраняя
Аль-Фараби
определение линий тангенса и котангенса с помощью гномона, в то же время одним из первых в истории тригонометрии определяет эти тригонометрические линии в круге. При этом в отличие от своих предшественников, считавших гномон равным 7 или 12 «пальцев», аль-Фараби считает его, как и радиус тригонометрического круга, равным 60 частям. Он тангенс и котангенс определяет как отрезки касательных к окружности, что касается терминов аль-Фараби, то он линии тангенса и котангенса, как и его предшественники, называет соответственно «обращенной тенью» (зил л маку с) и плоской тенью (зилл мустав). Однако тут же аль-Фараби вводит методически более удобное название для этих линий: тангенс называется первой тенью, а котангенс — второй. Терминология аль-Фараби основана на функциональных свойствах вводимых линий (увеличение и уменьшение).
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed