Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аль-Фараби -> "Математические трактаты" -> 11

Математические трактаты - Аль-Фараби

Аль-Фараби Математические трактаты — Наука, 1972. — 318 c.
Скачать (прямая ссылка): matemattraktat1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 52 >> Следующая

Тригонометрические главы 67
дренный, и если из угла ABD опущен перпендикуляр BE9 то AE равна EG. Поскольку треугольник ABD прямоугольный и из прямого угла опущен перпендикуляр, то треугольники ABD и ABE подобны; следовательно, DA относится к AB как BA к AE. Поэтому произведение DA на AE равно квадрату BA; но каждая из [линий] DA и AE известна; поэтому квадрат AB известен и корень из него, т. е. хорда AB, известен. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Глава IX
О нахождении величины хорды суммы двух дуг, хорды которых известны13
Пусть ABCD — круг, его центр Е. Зададимся известными хордами AB и ВС; соединим А и С [рис. 12]. Я утверждаю, что AC известна.
Доказательство этого. Проведем через В диаметр BD; соединим А и D, D и С. Тогда AD — хор-163 да дополнения AB9 || a CD — хорда дополнения дуги ВС; обе они известны. Произведения AB на CD и ВС па AD [вместе] равны произве-
68
Аль-Фараби
б
[Рис. 12]
дению BD на АС. Каждая из [линий] AB, [ВС, AD] и CD известна; диаметр BD известен. Следовательно, хорда AC известна.
Глава X
О предпосылке для того, что будет позже
Если в круге имеются две неравные хорды, то отношение большей хорды к меньшей меньше отношения дуги большей хорды к дуге меньшей хорды 14.
Пусть круг ABCD, и в нем имеются хорды AB и ВС, ВС будет
Тригонометрические главы 69
большей из них (рис. 13). Я утверждаю, что отношение хорды ВС к хорде BA меньше отношения дуги ВС к дуге AB.
[Рис. 13].
Доказательство этого. Разделим угол ABC пополам прямой линией B[E]D. Соединим А и С, А и D; поскольку угол ABC разделен пополам линией BD, то линия CD равна линии AD9 а линия CE длиннее линии EA.
Опустим из D на линию AC перпендикуляр DG. Так как AD длиннее DE, a DE длиннее DG, то круг, описанный из центра D на расстоянии DE, пересечет AD и
70
Аль-Фараби
•обойдет DG. Проведем его дугу. Это — HEF, продолжим DG до F. Поскольку сектор DEF больше треугольника DEG9 а треугольник DEA больше сектора DEH9 то отношение сектора DEF к сектору DEH больше отношения треугольника DEG к треугольнику DEA; но треугольник DEG относится к треугольнику DEA как линия EG к линии EA; сектор DEF относится к сектору DEH как угол GDE к углу EDA; следовательно, отношение линии EG к линии EA меньше отношения угла GDE к углу EDA. Присоединяя 15, получим, что отношение GA к линии EA меньше отношения угла GDA к углу ADE. Половины относятся как их удвоение, поэтому отношение удвоенной AG, т. е. CA к AE9 меньше отношения удвоенного угла GDA9 т. е. угла CDA к углу ADE; выделяя 16, получим, что отношение линии CE к EA меньше отношения угла CDE к углу EDA. Но CE относится к EA как хорда CB к хорде AB, а угол CDB относится к углу BDA как дуга CB к дуге BA; поэтому отношение хорды CB к хорде BA меньше отношения дуги CB к дуге BA. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Тригонометрические главы 71
Глава XI
Об установлении хорды одного градуса и составлении с помощью ее [других] хорд
В седьмой главе объяснялось, как узнать хорду разности одной шестой и одной десятой [круга], т. е. хорду одной двенадцатой [круга], а в восьмой главе — половины и половину половины и т. д. до хорды дуги градуса с половиной и хорды дуги половины с четвертью градуса 17.
Положив это за основу, возьмем круг ABC и пусть линия AB сначала хорда дуги половины с четвертью градуса, а линия AC — 164 хорда дуги II одного градуса [рис. 14]. Тогда отношение хорды AC к хорде AB меньше отношения дуги AC к дуге AB; дуга AC равна дуге AB с третью. Следовательно, хорда AC ГР 141 меньше хорды AB L ис- J- с третью. Хорда AB с третью — 1 2 49 52.
Точно так же проведем в том же круге линию AB — хорду ду-
72
Аль-Фараби
ги одного градуса и линию AC — хорду градуса с половиной, тогда дуга AC равна дуге AB с половиной и хорда AC меньше хорды AB с половиной. Поэтому дуга AB больше двух третей дуги АС, но две трети дуги — 1 2 49 48.
Если одна и та же хорда одного градуса один раз меньше, а другой раз больше вещей, разность между которыми незначительна, разделим эту разность пополам и прибавим к меньшему. Тогда хорда одного градуса приблизительно 1 2 49 55 18, а хорда его дополнении 119 59 43 43. После этого узнаем синус одного градуса 1 2 49 43, а косинус одного градуса 59 59 27 7 19.
В девятой главе объяснялась хорда суммы двух дуг, поэтому если известна хорда одного градуса, то известна и хорда двух градусов; точно так же если известны хорды одного и двух градусов, то известна и хорда трех градусов; точно так же если известны хорды одного и трех градусов, то известна и хорда четырех градусов. Таким образом, составляем хорды дуг от градуса до ста восьмидесяти градусов. Если [определяются]
Тригонометрические главы 73
синусы, то до девяноста [градусов]. Мы расположим их в таблицу 20. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Глава XII О свойствах первой и второй тени
Пусть ABCD круг высоты, его центр E9 a DJ — пересечение плоскостей круга высоты и круга горизонта; DE — гномон 2|, стоящий иод прямым углом к плоскости горизонта в точке D9 CK — пересечение плоскости круга высоты и плоскости, стоящей иод прямым углом к горизонту в точке C9 а CE — гномон, стоящий на этой плоскости. Зададимся дугой высоты AG [рис 15]. Проведем GEF9 т. е. луч, соединяющий вершину гномона и конец тени; DF — тень гномона DE9 называемая плоской тенью или второй тенью высоты AG9 a CH — тень гномона CE9 называемая обращенной тенью или первой тенью высоты AG.
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 52 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed