Математические трактаты - Аль-Фараби
Скачать (прямая ссылка):
Тригонометрические главы 59
лудиаметр, поэтому сумма их квадратов известна, и, следовательно, ее корень, т. е. хорда AB9 известен. Это то, что мы хотели доказать.
Отсюда ясно, что квадрат хорды четверти [круга] равен двум квадратам полудиаметра. Квадрат диаметра равен четырем квадратам полудиаметра, так как квадрат AC равен квадратам AB и ВС и каждый из [квадратов] AB и ВС равен двум квадратам AE, поэтому квадрат AC равен четырем квадратам AE. Это ясно из того же рисунка 6.
Глава IV
О нахождении величины хорды трети [круга]
Пусть ABC — круг, его диаметр АС. Проведем ВСУ равную полудиаметру; это хорда одной шестой [круга] [рис. 7]. Проведем AB. Я утверждаю, что AB — хорда трети [круга] и что она известна.
Доказательство этого. Угол ABC прямой, потому что он вписан в полукруг, поэтому квадрат AC равен квадратам AB и ВС; квадрат AC известен, известен и
60
Аль-Фараби
квадрат ВС, являющийся хордой одной шестой [круга], поэтому квадрат AB, являющийся остатком от квадрата АС, известен; следовательно, и корень из него известен, т. е. хорда AB. Это и есть то, что мы хотели доказать.
[Рис. 7].
Отсюда ясно, что квадрат хорды трети равен трем квадратам полудиаметра, так как квадрат диаметра равен четырем квадратам полудиаметра, а хорда ВС равна полудиаметру; если вычесть из AC квадрат ВС, то остается утроенный квадрат полудиаметра, что равно квадрату хорды AB 7.
Тригонометрические главы 61
Глава V
О нахождении величины хорд одной десятой и пятой [круга] 8
Пусть ABC полукруг, его центр E9 его диаметр AC [рис. 8]. EB —
3
[Рис 8].
перпендикуляр к нему; разделим AE пополам в D и соединим В и D. Отложим DG9 равную BD9 и соединим В и G. Тогда я утверждаю, что EG равна хорде одной десятой круга, a BG — хорда ее одной пятой.
Доказательство этого. Поскольку AE разделена пополам в D и к
62
Аль-Фараби
ней прибавлена EG> то произведение AG и GE вместе с квадратом DE равно квадрату DG 9. Так как DG равна DB9 то квадрат DB равен квадратам DE и ЕВ. Следовательно, произведение AG на GE вместе с квадратом DE равно квадратам DE и ЕВ. Отбросим общий квадрат ED9 останется произведение AG и GE9 равное квадрату EB9 но EB равна EA. Следовательно, AG разделена в точке E в среднем и крайнем отношении, где большая часть — АЕУ причем AE — хорда одной шестой [круга]. Поэтому EG — хорда одной десятой [круга], так как квадраты BE и EG равны квадрату BG9 EB — хорда одной шестой [круга], a EG — хорда одной десятой, то BG — хорда одной пятой части [круга]. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Глава VI
О предпосылке для того, что будет позже
В каждом четырехугольнике, вокруг которого описан круг, произведения противоположных сто-
Тригонометрические главы 63
рон, если сложить их, равно произведению диагоналей этого четырехугольника 10.
Пусть в круг ABCD вписан четырехугольник ABCD9 его диагонали — AC и BD [рис. 9]. Я утверждаю, что сумма произведений AB на CD и AD на ВС, если их сложить, равна произведению AC на BD.
[Рис. 9.]
Доказательство этого. Построим угол DCE9 равный BCA; так как 162 угол DCE равен углу || BCA9 а угол АСЕ — общий, угол DCA равен углу ВСЕ; угол CAD равен
64
Аль-Фараби
углу CBD, так как они на одной дуге CD; следовательно, оставшийся угол ADC равен углу ВЕС. Поэтому CB относится к BE как CA к AD и произведение CB на AD равно произведению AC на BE.
Поскольку угол DCE равен углу ВСА, а угол CDB равен углу CAB, так как они на одной дуге ВС, то угол CED равен углу ABC, поэтому CD относится к DE как CA к AB и произведение CD на AB равно произведению CA на DE; но было доказано, что произведение CB на AD равно произведению CA на BE. Следовательно, произведение AC на BD равно произведениям CB на AD и CD на AB. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Глава VII
О нахождении величины хорды разности двух дуг, хорды которых известны 11
Пусть ABCD — полукруг, диаметр его — AD и его хорды AB и AC известны. Соединим В и С
Тригонометрические главы 65
[рис. 10]. Я утверждаю, что ВС известна.
[Рис. 10].
Доказательство этого. Проведем BD и CD, которые известны, так как они хорды дополнений AB и АС. Тогда по тому, что доказано в предпосылке, произведение AC на BD равно сумме произведений AB на CD и AD на ВС\ но произведение AC и BD известно; известно и произведение AB и CD; следовательно, оставшееся произведение AD и ВС известно. Диаметр AD известен, поэтому известна и хорда ВС. Это и есть то, что мы хотели доказать.
5-51
66
Аль-Фараби
Глава VIII
О нахождении величины хорды половины дуги с известной хордой 12
Пусть ABCD — полукруг, его диаметр AD. Зададимся хордой АС. Разделим дугу AC пополам в В; соединим А к В, В и С [рис. 11]. Я утверждаю, что AB известна.
[Рис. 11].
Доказательство этого. Соединим ChDh отложим DG9 равную CD; соединим В и D9 В и G9 проведем BE перпендикулярно к AG. Поскольку CD равна DG9 a DB — общая, поэтому CD и DB [вместе] равны GD и DB; угол GDB равен углу BDC9 так как они на равных дугах; следовательно, основание ВС будет равно основанию BG. Но AB равно ВС; поэтому AB равна BG. Треугольник ABG равнобе-
