Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Последнее неравенство можно записать в следующей форме: Ахг + Ах2 > Рг Ахг + Р2 Ах2.
ОХ\ ОХ2
Это неравенство выполняется лишь при условии, что
(& -«)д*+(& -*)д- > °-
Так как Ах\ > 0 и Ах2 > 0, последнее неравенство заведомо выполнено в случае, когда
P--Pi>0, |^ - Р2 > о,
ОХ\ ОХ2
причем хотя бы одно из этих неравенств является строгим.
Вывод: Если цены ресурсов не превосходят их предельных производительностей, то убытков при их приобретении не будет.
350
Гл. 16. Использование понятия функции многих переменных
16.7. Максимизация прибыли от производства товаров разных видов
В экономике бывает важно определить в каком соотношении следует выпускать различные товары, чтобы получить максимальную прибыль от их продажи.
Решим одну из задач подобного рода. Пусть х\, х2, ..., хп — количества п различных производимых товаров. Будем предполагать, что товары Xi продаются по фиксированным ценам Pi и моментально реализуются. Затраты на производство этих товаров задаются функцией издержек
С = С(хъ х2, ..., хп).
Тогда функция прибыли от реализации товаров является функцией от п переменных жх, #2, •••, жп, которая вычисляется по формуле
П = П(жх, ж2, ... , хп) =
= Pi Xi + Р2 х2 + ... + Рп Хп ~ С(хъ ж2, ... , хп). (16.4)
Спрашивается: какое количество каждого товара нужно производить, чтобы иметь наибольшую прибыль, от реализации всех товаров?
Для того чтобы ответить на этот вопрос нужно найти наибольшее значение функции П. Одним из естественных условий при которых ищется экстремум, является следующее: Xi ^ 0 (количество произведенных товаров не может быть отрицательным).
V Пример 1. Пусть производится два вида товаров, обозначим их количества х и у. Пусть цены на эти товары соответственно Pi = 16 и Р2 = 14, а функция затрат
С = х2 + 3ху + у2.
Требуется ответить на вопрос: Какое количество обоих видов товаров нужно произвести, чтобы иметь наибольшее значение прибыли?
Решение. Согласно формуле (16.4) прибыль выражается функцией
П(х,у) = 16ж+ 14у - (х2 + 3ху + у2). Требуется найти наибольшее значение П при условиях
х ^ 0, у ^ 0 (16.5)
16.7. Максимизация прибыли от производства товаров разных видов 351
(количество произведенных товаров не может быть отрицательным).
Необходимые условия локального экстремума приводят к системе алгебраических уравнений
П'ж = 16 - 2 х - 3 у = О, П'у = 14 - 3 х - 2 у = О,
решением которой являются значения х = 2, у = 4. Поскольку в стационарной точке
Пжж — ~~ 2 < О, Пжж Пуу — Рху = 13 > О,
то согласно достаточному условию локального экстремума найденная стационарная точка определяет локальный максимум функции прибыли, причем П(2,4) = 44.
Однако наибольшее значение в квадранте (16.4) достигается на его границе. Действительно, при х = 0 и у = 0 имеем соответственно:
П(0,у) = Uy-y2, П(ж,0) = Wx-x2.
первая функция имеет максимум при у = 7, вторая — при х = 8. При этом
11(0,7) = 49, 11(8,0) = 64.
Таким образом, наибольшее значение достигается при х = 8 и у = 0. Следовательно, второй товар лучше вообще не производить. А
Наибольшее значение в задачах такого рода может достигаться и внутри квадранта (16.4).
Задача. Пусть производится два вида товаров, обозначим их количества х и у. Пусть цены на эти товары соответственно Р\ = 8 и Р2 = 10, а функция затрат
С = х2 + х у + у2.
Требуется определить какое количество обоих видов товаров нужно произвести, чтобы иметь наибольшее значение прибыли.
Ответ: х = 2, у = 4, Птах(2, 4) = 28.
Вывод: В одних случаях выгодно производить лишь один товар из всего ассортимента выпускаемой продукции, в других — все товары, но в определенной пропорции. Пропорция зависит от цен на товары и функции затрат.
352
Гл. 16. Использование понятия функции многих переменных
Мы рассматриваем задачу максимизации прибыли от производства товаров разных видов. Продемонстрируем теперь применение к этой задаче критерия Сильвестра (с. 312) и достаточных условий экстремума, сформулированных с помощью квадратичных форм (с. 315).
V Пример 2. Пусть производится три вида товаров, обозначим их количества ж, у и z. Пусть цены на эти товары соответственно Р\ = 7, Р2 = 8 и Рз = 9, а функция затрат
С = x2 + y2 + z2 + xy + xz + yz.
Требуется определить: какое количество обоих видов товаров нужно произвести, чтобы иметь наибольшее значение прибыли.
Решение. Согласно формуле (16.4) прибыль выражается функцией
Щх,у) = 7 х + 8 у + 9 z - (х2 + у2 + z2 + х у + х z + у z).
Требуется найти наибольшее значение П при естественных ограничениях:
ж^О, у^О, z^O. (16.6)
Необходимые условия локального экстремума приводят к системе алгебраических уравнений
n'x = 7-2x-y-z = 0,
Ufy = 8-x-2y-z = 0,
Yl'y = 9-x-y-2z = 0,
решением которой являются значения х = \ . у = 2. z = 3. Поскольку в стационарной точке
П" = П" = П" = -2
ААжж уу LLzz ^1
п" = П" = Р" = -1
ху xz yz '
то гессиан имеет вид
-2 -1 -1 det(H) = -1 -2 -1 -1 -1 -2
16.8. Экономия ресурсов
353
При этом главные миноры соответствующей квадратичной формы:
Дх = -2 < О,
