Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
z = /(ж, у),
если координаты этих точек удовлетворяют уравнению
f(*,y) = C,
где С — постоянная.
Линии уровня функции z = х2 + у2 — концентрические окружности
х2 + у2 = С
радиуса R = \/~С с центром в начале координат.
Пусть процесс производства описывается с помощью двух-факторной производственной функции z = f(x, у). Тогда равенство
/(ж0, Уо) = С
означает, что при затратах ресурсов в объемах
х = х0, у = у0,
выпуск продукции составляет С единиц (в натуральном или стоимостном выражении). Множество точек х и у, удовлетворяющих равенству
/(ж, у) = /(жо, Уо) = С,
выражает соответствующие затраты ресурсов, при которых обеспечивается выпуск в объеме С. Таким образом, линия уровня производственной функции описывает такие затраты ресурсов,
346
Гл. 16. Использование понятия функции многих переменных
при которых обеспечивается один и тот же выпуск С. Поэтому линии уровня производственных функций называют линиями постоянного выпуска или изоквантами (от греческого слова «изо» — равный и немецкого Quantum — «количество»).
Предельная норма замещения. Уравнение линии постоянного выпуска производственной функции
z = z(xi, х2)
имеет вид
х2) = С.
Продифференцируем его. Получим
dz = dC = О,
а значит,
dz Л dz л
— Аж1 + — Ах2 = 0.
ОХ\ ОХ2
Отсюда выразим отношения приращений затрат ресурсов и обозначим их соответственно 721 и 712:
Ах2 dxi
Axi dz
dx2
dz
Axi dx2
Ax2 dz_
dx\
= 72b
= 712-
Величина jij называется коэффициентом эквивалентной заменяемости ресурсов или предельной нормой замещения. Она показывает, какое количество одного ресурса может быть высвобождено при увеличении затрат другого на единицу. Ясно, что числа jij и jji обратны друг другу.
В предыдущем параграфе было показано, что предельные
dz
производительности ресурсов —— положительны, поэтому
OXi
lij < 0.
16.5. Линии постоянного выпуска и предельные показатели экономики 347
Для функции Кобба-Дугласа
^0
дУ
Y = Yn Ка L1_a,
^- = Y0 (1 - а) Ка L~a = ^—-^ Y. дь ь
Отсюда
1Kb = Ilk = ~
1 - а К
a L ' a L
1 - а К
Вывод: Для производственной функции Кобба-Дугласа предельная норма ^кь замещения прямо пропорциональна фондовооруженности труда К/L, а предельная норма замещения jlk пропорциональна трудоемкости L/K.
Коэффициенты эластичности выпуска по затратам ресурсов. Пусть аргумент х\ функции z = х2) получил
приращение Ах±, а значение х2 осталось прежним. Изменение значения функции выражается частным приращением по х\\
AXiz = f(xi + Ахъ х2) - х2).
Axi AXlz
Составим относительные приращения - и -.
Х\ Z
Отношение относительного приращения функции к относительному приращению аргумента х\, равное
^?i? . Ш%) 100%
показывает, на сколько в среднем изменится значение функции при увеличении х\ на 1% (т. е. от х\ до х\ + 0,01 х\). Найдем предел этого отношения при Axi —> 0:
El= lim ((^.100%) : =
Ах{-М \ \ Z Ul / /
348
Гл. 16. Использование понятия функции многих переменных
Аналогично
Ei и Е2 называются коэффициентами эластичности выпуска по первому и второму ресурсу соответственно.
Коэффициенты Ei показывают, на сколько процентов приблизительно изменится значение функции (величина выпуска), если затраты соответствующего ресурса увеличили на один процент, оставив неизменными затраты другого ресурса.
Поскольку
отсюда следует
Вывод: Коэффициент эластичности Ei производственной функции z = /(жх, х2) равен отношению предельной производительности z'x соответствующего ресурса к его сред-
z
ней производительности —.
X i
Из этого вывода следует, что равенство единице коэффициента эластичности выпуска по г-му ресурсу означает совпадение предельной и средней производительности этого ресурса:
Ei = l => ± = |1.
Xi OXi
Задача. Показать, что для функции Кобба-Дугласа Ек = El = 1 — а.
16.6. Экономический смысл дифференциала производственной функции
Пусть функция z = /(жь х2) выражает зависимость стоимости выпущенной продукции фирмы от количества затраченных ресурсов Xi.
О z
Частный дифференциал dxz = ——Дач, являясь произ-
OXi
dz
ведением предельной производительности —— на его дополни-
OXi
тельные затраты Аж«, дает приближенное значение стоимости,
16.6. Экономический смысл дифференциала производственной функции 349
произведенной за счет увеличения Х{ на Ах{. Тогда полный дифференциал
i dz Л dz л
dz = -— Axi + —- Ах2
ОХ\ ОХ2
приближенно выражает изменение выпуска продукции Az при небольших изменениях затрат обоих ресурсов.
Если Pi — цена единицы первого ресурса (скажем, меди), а Р2 — цена единицы второго ресурса (например, серебра), то затраты на приобретение дополнительного количества меди Ах\ составят Р\Ах\ денежных единиц, а на приобретение дополнительного количества серебра Ах\ составят Р\Ах\. Следовательно, Р\ Ах\ + Р2 Ах2 — сумма затрат на дополнительное приобретение ресурсов. Производство выгодно только тогда, когда дополнительно произведенная стоимость превосходит затраты, связанные с ее созданием, т. е.
dz > Pi Axi + Р2 Ах2
Вывод: Производство выгодно только тогда, когда дифференциал произведенной стоимости больше суммарных затрат.
