Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 92

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 123 >> Следующая

Определим при каких значениях х и у урожайность достигает наибольшего значения, если суммарные затраты на приобретение удобрений и семян х + у равны 2 (соответствует ценам 1970 г.) 2).
г) См.: Браславец М. Е. Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства. М.: 1971. 2)См. [16, с. 196].
342
Гл. 16. Использование понятия функции многих переменных
Учитывая ограничения х + у = 2, делаем вывод, что область определения функции z = z(x, у) — треугольник, заданный неравенствами
х > 0, у > 0, х + у ^ 2.
Наибольшее значение функции достигается на границе области.
Выразим у через х из равенства х + у = 2 и подставим полученное значение в выражения для производственной функции. Имеем
^ = 15,63 ж0'372 (2 -Ж)°>158. Исследуем полученную функцию на экстремум:
4 = 15,63 (0,372x-°'628 (2 -x)0'158-
-х0'372 0,158 ( 2 -х)"0'842) =
= 15,63 ж0'372 (2 - ж)"0'842 (0,372 х~1 (2-х)- 0,158) .
Имеем три критические точки х\ = 0 ^соответствует случаю, когда множитель ж0'372 = о), х2 = 1,404 (о,372х~1 (2 - х) -- 0,158 = О), х3 = 2 ((2 - ж)"0'842 = оо), причем Zl = 0 при
х\ = 0, Z2 = 16,34 при Х2 = 1,404, z\\ = 0 при х% = 2.
Наибольшим среди найденных трех значений zi является z2 = = 16,34.
Таким образом, наибольшая урожайность кукурузы будет достигнута при затратах на удобрения в размере 1,404 руб. и затратах на семена в размере 0,596 руб.
16.4. Рост производства и частные производные
Рассмотрим, как связаны между собой рост производства и знаки частных производных.
Как известно, если производная функции положительна, то сама функция возрастает. То же можно сказать и о частных производных. Если, например, zx(x, у) > 0, то это означает, что функция z(x,y) возрастает, если переменная у неизменна.
Если производственная функция F(K, L) непрерывно дифференцируема, то естественно считать, что
F'K(K, L) > 0, F'L(K, L) > 0, (16.3)
16.4- Рост производства и частные производные
343
поскольку рост количества используемых фондов К и рост числа трудящихся L приводят к росту национального дохода Y = = F{K, L).
Проверим это свойство для функции Кобба-Дугласа. По правилу дифференцирования степенной функции имеем
^ = Y0aKa-1L1-a,
j^ = Y0(l-a)KaL-a.
Поскольку К > О, L > О, 0 < а < 1, из выражений для первых частных производных функции Кобба-Дугласа вытекает (16.3):
дУ п 9Y .
м>0> ж>0-
Вывод: Первые частные производные производственной функции положительны.
А каковы знаки вторых частных производных производственной функции?
Найдем вторые частные производные для функции Кобба-Дугласа:
д2у =Y0a(a-l)Ka~2 Ll~a,
дК2
d2Y dL2
d2Y дКдЬ
d2Y дЬдК
= Y0(l-a)(-a)Ka L~a~\ = Y0a(l-a)Ka~1 L~a, = Y0a(l-a)Ka~1 L~a.
Поскольку Ar>0, L>0,0<a<l, все множители, за исключением (а — 1) < 0 и (—а) < 0 в предыдущих равенствах, положительны. Поэтому
d2Y л
d2Y п
344
Гл. 16. Использование понятия функции многих переменных
д2У
> о,
дКдЬ дЬдК
> О.
Знаки производных о тУ2 и-2 отрицательны. Это означает, что
Что означают эти неравенства? Напомним, что если вторая производная положительна, то график функции одной переменной является выпуклым вниз, а если вторая производная отрицательна, то график направлен выпуклостью вверх. Знак второй производной величины показывает рост или убывание предельной величины. Если вторая производная производственной функции (одной переменной) положительна, то эффективность ресурса растет, если отрицательна, эффективность падает. д2У д2У
дк^ИЖ2
эффективность трудовых и производственных ресурсов убывает.
Это вполне согласуется с реальными процессами экономики. Наблюдения показывают, что в условиях экстенсивного роста производства (увеличивается объем производства без изменения технологии) наращивание затрат лишь одного производственного ресурса приводит к снижению его эффективности. Так, если увеличивать число станков, обслуживаемых одним рабочим, не изменяя технологические характеристики станков, то на каждом новом станке будет производиться все меньшее дополнительное количество продукции (при неизменном числе рабочих, они просто не будут поспевать обслуживать все станки). То же происходит, если увеличивать количество рабочих, оставляя неизменным количество станков. Эффективность каждого рабочего будет падать (из-за увеличения простоев).
Таким образом, неравенства
д2У Л д2У Л
—~ < о, —т < О
дК2 ' дЬ2
вполне естественны.
Вывод: Вторые частные производные ^^2 и 2 производственной функции отрицательны.
Увеличение лишь одного производственного ресурса приводит к снижению его эффективности. Однако, если увеличивать
16.5. Линии постоянного выпуска и предельные показатели экономики 345
все ресурсы, то можно добиться увеличения эффективности каждого ресурса. Математически это можно записать следующим образом:
д2У = д2У~ 7~
Вывод: Вторые смешанные частные производные производственной функции положительны.
16.5. Линии постоянного выпуска
и предельные показатели экономики
Линии постоянного выпуска. Напомним (с. 280), что множество точек плоскости называется линией уровня функции
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed