Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Простейшая функция с постоянными пропорциями задается с помощью формулы
y = f(k, t)-y„ mln{?,?}.
Как видно из формулы, если один из ресурсов, например L, избыточен, то его увеличение не является разумным, так как оно не отразится на величине У, а приводит лишь к дополнительным расходам.
Свое название функция получила так потому, что для увеличения Y и недопущения лишних расходов необходимо увеличивать оба ресурса в постоянной пропорции.
Задача 1. Показать, что функция с постоянными пропорциями является линейно однородной, т. е. удовлетворяет соотношению
F(m К, т L) = т F(K, L), га > 0.
Задача 2. Показать, что функция с постоянными пропорциями удовлетворяет соотношениям
F(0, mL) = F(K, 0) = 0.
16.2. Многофакторные производственные функции ... 339
16.2. Многофакторные производственные
функции и предельная производительность
В предыдущем параграфе предполагалось, что производственная функция является линейно-однородной функцией двух переменных. Такая функция — лишь частный случай производственной функции. В общем случае производственной функцией называется экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей.
Предполагают, что объем производства может зависеть не от двух, а от большего числа переменных х\, х2, ...хп. Например, можно считать, что национальный доход зависит не от двух переменных: трудовых ресурсов и производственных фондов, а от трех: трудовых ресурсов, производственных фондов и природных ресурсов.
Производственные функции, в которых устанавливается зависимость объема производства продукции от наличия или потребления ресурсов, называют также функциями выпуска, а функции, в которых рассматривается зависимость затрат на производство от выпуска продукции, — функцией производственных затрат.
Ранее мы предполагали, что производственная функция линейно-однородна. В общем же случае допускается, что производственная функция может быть просто однородной. Требование линейности необязательно.
Функция F = F(#i, х2, ... , хп) называется однородной степени к > 0, если
F(mxi, тх2, ... , хп) = тк F(x\, х2, ... , жп), к > 0.
Это равенство означает, что с ростом масштаба производства в т раз, объем выпуска возрастает в тк раз. При к > 1 имеем рост эффективности производства. При к < 1 — падение эффективности. При к = 1 (линейно-однородная функция) имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.
V Пример 1. Показать, что функция
F(x, у, z) = x2 + y2 + z2
однородна.
340
Гл. 16. Использование понятия функции многих переменных
Решение. Если т — произвольное число, то F(m х, ту, т z) = (т х)2 + (т у)2 + (т z)2 =
2 2, 22, 22 2 ту ( \
= т х +т у +т z = т r(x,y,z).
Следовательно, заданная функция есть однородная функция второй степени. А
V Пример 2. Показать, что функция
f(x> у) = ^2
однородна.
Решение. Если m — произвольное число, то
, \ mx + my х + у _i Р/ ч
F(mx, my) =---2—--= —-2-^ = m У)-
(m X) —(my) m (х — у )
Следовательно, заданная функция есть однородная функция минус первой степени. А
Функция
F(x, у) = 3 + х + у
не является однородной, поскольку для нее не выполняется соответствующее свойство.
Для производственной функции
Y = F(xi, х2, ... , хп)
отношение Fjx{ выражает среднюю производительность (отдачу, эффективность) г-го ресурса, т. е. величину общественного продукта на единицу г-го ресурса. А частная производная
F'x = lim *2i?
Ах{-М AXi
характеризует предельную производительность (отдачу, эффективность) г-го ресурса и показывает приближенно изменение величины общественного продукта при изменении г-го ресурса на единицу (при постоянстве других ресурсов).
16.3. Повышение урожайности
341
В экономике иногда используют следующую теорему.
Теорема (Эйлера). Если функция F(x\, х2, хп) есть однородная функция к-и степени, то
Х1 F'Xl + х2 F'X2 + ... + хп F'Xn = kF.
Из теоремы Эйлера следует, что для линейно-однородной функции (к = 1) Кобба-Дугласа выполняется соотношение
оК дь
Вывод: Произведение затрат живого труда на предельную производительность живого труда плюс произведение затрат овеществленного труда на предельную производительность овеществленного труда равняется полной стоимости продукции.
16.3. Повышение урожайности
В предыдущей главе были рассмотрены методы поиска наибольших и наименьших значений функции двух переменных в замкнутой области (с. 316). Рассмотрим приложение данных задач к задаче повышения урожайности. Зависимость урожайности кукурузы z (ц/га) от затрат на удобрения х (руб./га) и затрат на семена у (руб/га) выражается следующей формулой (в ценах 1970 г.) х) :
z = 15,63 ж0'372 2/0'158, х > 0, у>0.
Рассматриваемая производственная функция является произведением двух степенных функций. Она достигает минимума, равного нулю в точках Р(0, у) и Q(x, 0), где х и у — любые положительные числа, и возрастает с возрастанием х и у. О максимуме можно говорить только тогда, когда по условиям производства необходимо учитывать дополнительные ограничения.
