Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 90

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 123 >> Следующая

>fit [leastsquare [[x,y,z],y=a*x+b*y+c,{a,b,c}]]
([[1,2,3,5],[2,4,6,8],[3,5,7,10]]);
1
z = x + -y + 1. A
15.6. Компьютерное вычисление экстремумов
335
Если некоторые эмпирические данные повторяются, то это должно учитываться при поиске зависимости. Эмпирические данные следующего примера мало отличаются от данных примера 7, но среди них есть повторяющиеся. Поэтому параметры линейной зависимости а, 6, с будут отличаться от параметров примера 7.
V Пример 8. Найти методом наименьших квадратов формулу линейной зависимости z от х и у:
z = а х + by + с,
если известны значения переменных х и у и соответствующие им значения переменной z:
х — 1, 2, 3, 5, 5, 5,
у = 2, 4, 6, 8, 8, 8,
z = 3, 5, 7, 10, 15, 15.
Решение. >with(stats):
>fit[leastsquare[[х,у,z],y=a*x+b*y+c,{a,b,c}]] ([[1,2,3,5,5,5], [2,4,6,8,8,8], [3,5,7,10,15,15]]);
z = —- x — - 7/ + 1 . A
С помощью пакета можно находить не только линейные, параболические и гиперболические, но и любые другие аналитические зависимости (экспоненциальные, логарифмические, степенные и т. п.). Нужно лишь после команды least square поставить соответствующую формулу.
С помощью пакета stats можно также построить графики теоретических зависимостей с указанием точек, соответствующих эмпирическим данным, а также изображать данные в виде гистограмм, вычислять средние и т. д.
Математики — своего рода французы: когда говоришь с ними, они переводят твои слова на свой язык, и вот сразу получается нечто совершенно
иное.
И. Гете
Глава 16
Использование понятия функции многих переменных в социально-экономической сфере
16.1. Линейно-однородные
производственные функции
При моделировании экономики страны в качестве основных ресурсов используют затраты труда L и объем производственных фондов К. Национальный доход выступает в роли результата деятельности экономики. Поэтому в макроэкономике Y рассматривают как функцию двух независимых переменных К и L:
При моделировании экономической деятельности отдельного предприятия, цеха и т. п. через Y обозначают объем выпускаемой продукции.
Как в макроэкономике, так и в микроэкономике часто предполагают, что при отсутствии хотя бы одного ресурса производство невозможно, т. е.
Считают также, что при пропорциональном росте используемых ресурсов производства объем производства увеличивается в такое же число раз. Математически это можно записать так:
Y = F(K, L).
F(0, L) = 0,
F(K, 0) = 0.
F(mK, mL) = m F(K, L),
m > 0.
(16.1)
Так, если m = 2 (вдвое увеличены затраты каждого ресурса), то выпуск увеличивается в два раза.
16.1. Линейно-однородные производственные функции
337
Функции, обладающие свойством (16.1), называют линейно-однородными.
Наиболее широкое применение имеют две из линейно-однородных функций — функция Кобба-Дугласа и функция с постоянными пропорциями.
Функция Кобба—Дугласа. Функцией Кобба-Дугласа называется производственная функция следующего вида
У = Уп Ка L1
О < а < 1.
(16.2)
ДУГЛАС (Douglas) Пол Говард (1892-1976) — американский экономист. В 1947 г. совместно с математиком Ч. Коббом разработал производственную функцию, получившую впоследствии название функции Кобба-Дугласа. Функция Кобба-Дугласа установила математическую зависимость роста национального дохода от изменений двух факторов производства — капитала и труда. Дуглас совместно с Коббом провел одно из первых эконометрических исследований динамики национального дохода, использовав американскую статистику 20-30-х гг. XX в.
КОББ (Cobb) Чарльз — американский математик, разработавший совместно с П. Дугласом концепцию производственной функции.
При К = 0 результат функционирования экономического объекта
у = у0 . О • Ll~a = 0.
К такому же выводу приходим и при L = 0, т. е. оба ресурса абсолютно необходимы.
Если в функции Кобба-Дугласа переменные К и L увеличить в m раз, то в такое же количество раз возрастет и Y.
Действительно, F(m K,mL) = Y0 (m K)a (m L)l~a =
= Y0 ma Ka ml~a Ll~a = m F(Ar, L).
Знание параметров Yqh a функции Кобба-Дугласа позволяет делать приближенные прогнозы значений национального дохода. На основании данных по экономике СССР, опубликованных за 1960-1985 гг., были рассчитаны параметры функции Кобба-Дугласа: Уо — 1,022, a = 0,5382. При подстановке фактических значений К и L за 1986 год ошибка прогноза составила 3% .
338
Гл. 16. Использование понятия функции многих переменных
Для увеличения точности прогноза в функцию Кобба-Дуг-ласа иногда вводят дополнительный множитель ept, который характеризует темп прироста выпуска под влиянием научно-технического прогресса:
Y = Y0ept Ка ZA
Требование а + (3 = 1 здесь является необязательным. Эта функция называется функцией Кобба-Дугласа с учетом научно-технического прогресса. На основании данных по экономике СССР, опубликованных за 1960-1985 гг., функция имела вид:
у — I е0,0294? ^0,9749 ^0,2399
Функция с постоянными пропорциями. Функцию с постоянными пропорциями выбирают тогда, когда один из ресурсов производства дефицитен, а второй избыточен. Такая функция содержит в себе понятие рациональной пропорции между двумя ресурсами. Этим объясняется ее использование в балансовых моделях планирования.
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed