Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
г=1 г=1 г=1
п Y^Xi + ai п + а2 ^ж- п
г=1 г=1 г=1 г=1
п
^2х2 + аг г=1 E*f г=1 + a2^xj t=l = Еж?
Мы привели системы нормальных уравнений только для трех видов зависимостей. В некоторых случаях теоретический анализ дает основания предполагать другие зависимости. Параметры этих зависимостей также могут быть найдены с помощью метода наименьших квадратов.
15.6. Компьютерное вычисление экстремумов
331
15.6. Компьютерное вычисление экстремумов
и поиск параметров сглаживающей функции
Для исследования на экстремум функций как одной, так и многих переменных используется команда
extrema(expr,constr,vars,nv),
где expr — выражение, экстремумы которого нужно найти, constr — ограничения, vars — переменные, по которым разыскивается экстремум, nv — имя переменной, которой будут присвоены координаты точек экстремумов. Перед обращением к функции extrema ее необходимо вызвать из стандартной библиотеки командой readlib. Приведем соответствующие примеры.
V Пример 1. Найти с помощью пакета Maple экстремум функции
z = 2 х3 + х у2 + 5 х2 + у2 + 1 (см. пример 2 на с. 309). Решение. >readlib(extrema):
>extrema(2*x~3 +х*у~2 +5*х~2 + у~2+1,{},{х,у},>z5); z;
If'1}
{
{ж = 0, у = 0},
{х=-Ьу=0}>
{х = -1,у = 2}, {х = -1, У = -2}|.
Сначала машина выводит значения экстремумов, а затем стационарные точки. А
V Пример 2. Найти экстремум функции z = 15, 63 • ж0'372 • (2 - ж)0'158
332
Гл. 15. Оптимизационные задачи
(см. с. 341 в параграфе «Повышение урожайности» следующей главы, где рассмотрено приложение этой задачи).
Решение.
>readlib(extrema):
>extrema(15.63*x40.372}*(2-x)40.158},{},x, 'z'); z;
{16.34061640}
{{x = 1.403773585}}. Последняя запись означает: zextr « ^(1,4) « 16,3. A
V Пример 3. Найти экстремум функции
z = х2 + 6х -2у + 1 при условии, что переменные х и у связаны уравнением
х2 + у - 4 = 0
(см. пример на с. 320). Решение. >readlib(extrema):
>extrema(x~2+6*x-2\, у+1,{х~2+у-4=0},{х,у},>z>); z;
{-10}
{{у = 3,x = -!}}.
Ответ совпадает с найденным без помощи компьютера. А
Для обработки опытных и статистических данных в Maple имеется пакет stats. Он содержит в себе команду leastsquare, которая позволяет определять параметры различных зависимостей с помощью метода наименьших квадратов. Приведем применения этой команды.
V Пример 4. Найти методом наименьших квадратов формулу линейной зависимости у от х:
у = а • х + 6,
если известны пять значений переменной х и соответствующие им значения переменной у (см. с. 325):
х = 0, 19, 40, 60, 74, у = 3, 6,8, 7,1, 9,8, 11,2.
15.6. Компьютерное вычисление экстремумов
333
Решение. Вначале подгружается пакет stats: >with(stats):
>fit[leastsquare[[x,у],y=a*x+b,{a,b}]] ([[0,19,40,60,74], [3,6.8,7.1,9.8,11.2]]);
у = 0,10232 x + 3,6303.
Объясним, как была найдена аналитическая зависимость. Вначале был подгружен пакет stats, затем была введена команда least square (метод наименьших квадратов) из подбиблиотеки fit, содержащей эту команду, введены переменные, формула зависимости. После в фигурных скобках написаны обозначения параметров, которые требуется найти, далее в квадратных скобках вводятся эмпирические значения переменных х и у.
Ответ у = 0,10232 ж + 3,6303, полученный компьютером несколько отличается от зависимости у = 0,0964 ж + 3,66, найденной без помощи компьютера. Связано это с ошибками ручного счета, накапливаемых при округлениях и недостаточно большим набором эмпирических данных. А
V Пример 5. Найти методом наименьших квадратов формулу гиперболической зависимости у от х:
у = а + Ь/х,
если известны пять значений переменной х и соответствующие им значения переменной у (см. с. 328):
х = 8, 10, 12, 13,5, 14, у = 80, 72, 65, 70, 68.
Решение.
>with(stats):
>fit[leastsquare[[x,y],y=a+b/x,{a,b}]]
([[8,10,12,13.5,14], [80,72,65,70,68]]);
_ „ „ _ _ 221,94 у = 50,855 +-—.
x
Заметим, что ответ, полученный компьютером, несколько отли-
249
чается от зависимости у = 48,5 ж Н--, найденной без помощи
х
компьютера. А
334
Гл. 15. Оптимизационные задачи
V Пример 6. Найти методом наименьших квадратов формулу параболической зависимости у от х:
у = ах2 + Ьх + с,
если известны четыре значений переменной х и соответствующие им значения переменной у:
х = Ю, 15, 17, 20, у = 3, 4, 5, 6.
Решение.
>with(stats):
>fit [leastsquare[[х,у],y=a+b/x,{a,b}]]
([[10,15,17,20],[3,4,5,6]]);
41 2 367 794 у = -x--x H--. A
y 2810 2810 281
Заметим, что коэффициент при х2 мал, поскольку эта зависимость отличается от линейной незначительно. А
Пакет позволяет находить аналитические зависимости не только между двумя переменными, но и между тремя, четырьмя и большим числом переменных. Рассмотрим соответствующие примеры.
V Пример 7. Найти методом наименьших квадратов формулу линейной зависимости z от х и у:
z = ах + by + с,
если известны четыре значений переменной ж, четыре значений переменной у и соответствующие им значения переменной z:
х = 1,2, 3, 5, у = 2, 4, 6, 8, z — 3, 5, 7, 10.
Решение.
>with(stats):
