Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Гиперболическая зависимость. В ряде случаев теоретический анализ приводит к выводу нелинейной зависимости различных факторов. Рассмотрим, например, зависимость себестоимости единицы продукции у от объема производства этой продукции х. Себестоимость единицы продукции рассчитывается путем деления общей суммы затрат на объем произведенной продукции. Поэтому общая сумма затрат на производство равна произведению х у. В то же время затраты на производство (как уже отмечалось выше) можно условно подразделить на две части: 1) затраты, которые возрастают более или менее пропорционально увеличению объема произведенной продукции, — условно-переменные расходы (затраты на сырье и материалы, на топливо и электроэнергию для технологических целей, оплата труда основных производственных рабочих и т. п.); 2) затраты, либо совершенно не зависящие от объема продукции, либо зависящие от него в незначительной степени, — условно-постоянные расходы (оплата труда инженерно-технических работников и служащих, расходы на содержание зданий и сооружений и другие административно-управленческие и общехозяйственные расходы).
Обозначим переменные расходы в расчете на единицу продукции через а; тогда их общая сумма составит ах. Общую сумму условно-постоянных расходов обозначим Ь. Тогда общая себестоимость продукции составит: х у = ах + 6, откуда себестоимость
Ь
единицы продукции будет равна: а -\—.
328
Гл. 15. Оптимизационные задачи
Поскольку b > 0, то зависимость себестоимости единицы продукции от объема является обратной: с увеличением х себестоимость снижается. Однако это снижение не является равномерным, так как по мере увеличения х снижение у постепенно замедляется.
В случае гиперболической зависимости у = f(x) = а Н— отклонение S эмпирических точек (ж^, yi) от точек кривой у = f(x) заменяется выражением
1-Х
Подберем коэффициенты а и b так, чтобы функция S получила возможно меньшее значение. Для этого необходимо, чтобы соблюдались условия
^ = 0 ^ = 0
да ' дь
Отсюда
п ^ п П \ " / 1 \ 2 П 1
an + 6E- = E^> аЕ- + 6Е(-) =Е-ет-
1-Х i — X i — X 1-Х 1-Х
Решение этой системы нормальных уравнений и определяет параметры а и Ь.
V Пример. Производство цемента х (в сотнях тонн) и расход электроэнергии yi (на 1 тонну цемента в год) за определенный период составили величины, приведенные в следующей таблице.
ж У 1/х 1/ж2 у/х
8,0 80 0,125 0,015625 10,000
10,0 72 0,100 0,010000 7,200
12,0 65 0,083 0,006889 5,416
13,5 70 0,074 0,005476 5,185
14,0 68 0,071 0,005041 5,857
355 0,453 0,043031 32,658
Найти гиперболу наилучшим образом отражающую эти данные.
15.5. Метод наименьших квадратов
329
Решение. Система нормальных уравнений имеет здесь следующий вид:
5 а + 0,453 b = 355, 0,453 а + 0,043031 b = 32,658, откуда
а = 48,5, b = 249. Следовательно, уравнение искомой гиперболы есть
у = 48,5 + ^.
X
Введем обозначения: К — полные затраты электроэнергии, а — удельные затраты на производственные нужды (пропорциональные выпуску продукции), b — расходы на производственные нужды (постоянные). Имеем
К = а х + 6;
отсюда затраты на единицу продукции составляют:
К b
у = — = а + -.
х х
Из приведенного уравнения следует, что производственные расходы на единицу продукции составляют 48,5, а непроизводственные нужды — 249 квт-ч/т. А
Параболическая зависимость. В некоторых случаях теоретический и логический анализ показывает, что неравномерное изменение результативного признака должно иметь иной характер. Так, при недостаточном количестве осадков урожайность будет, естественно, очень низкой, а по мере увеличения их количества урожайность будет повышаться. Однако это повышение не будет беспредельным, так как для каждой культуры в данных конкретных условиях есть какое-то оптимальное количество осадков, при котором достигается наиболее высокая урожайность. По мере того как количество осадков будет приближаться к оптимальной величине, рост урожайности будет постепенно замедляться и прекратится совсем при достижении этого оптимума. Дальнейшее увеличение количества осадков может привести к тому, что они окажутся излишними и вредными, в результате чего урожайность будет снижаться. Такого рода зависимость приближенно можно выразить уравнением параболы. Аналогичный характер связи можно ожидать и в ряде других случаев, например для зависимости уровня производительности труда рабочего от его возраста.
330
Гл. 15. Оптимизационные задачи
Пусть функция
у = ао + а\ х + а2 х2
и есть та парабола, которая отражает зависимость у от х. Естественно искать коэффициенты ао, а\ и а2 такие, чтобы сумма квадратов погрешностей
п
S = ^2(а0 + a1xi + а2 х2 - yi)2
t=l
была минимальной. Дифференцируя эту сумму по очереди по переменным ао, а\ и а2 и приравнивая к нулю частные производные, получаем:
п
^2 2 (ао + «i Xi + а2 х2 - у^ • 1 = 0,
п
^ 2 (а0 + ах Xi + а2х2 - yi) • х = 0,
t=l п
^ 2 (а0 + ах Xi + а2х2 - yi) • х2 = 0.
г=1
Отсюда окончательно получаем систему нормальных уравнений для параболы:
п п п
nao + ai ^Xi + a2 ^х2 = ^у%,
