Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.
f(x)dx =
/(*) dt =
f(u)du.
Верхний предел b может быть больше или меньше нижнего а. В первом случае
а = хо < х\ < Х2 < ... < xn-i < хп = Ь, т. е. Axi = Х{ — Х{-\ > 0. Во втором случае
а = хо > х\ > Х2 > ... > xn-i > хп = Ь, т. е. Axi = Х{ — Х{-\ < 0.
12.2. Понятие определенного интеграла
227
Поэтому по определению полагают
( 1 Ь
/(ж)dx = - f(x)dx.
1 ) с i
Понятие определенного интеграла распространяют и на случай а = 6; интеграл с равными пределами считается равным нулю:
а
f(x)dx = 0.
а
Это соглашение оправдано тем, что интегральная сумма стремится к нулю при сближении а и Ь.
Очевидно, если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6], то она и ограничена на этом отрезке. В самом деле, если f(x) не ограничена на отрезке [а, 6], то она не ограничена на некотором отрезке [ж^-ъ хг\- За счет выбора точки С{ интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой, а такая интегральная сумма не имеет конечного предела, что противоречит определению, согласно которому предел интегральной суммы Sn существует и конечен.
Покажем на примере функции Дирихле, что обратное утверждение неверно: существует ограниченная функция, не являющаяся интегрируемой. Напомним, что функция Дирихле равна единице в рациональных точках и нулю — в иррациональных. На любом отрезке [а, Ь] эта функция ограничена, но не является интегрируемой на нем. Действительно, если в каждом отрезке [ж«_1, Xi] выбрать рациональную точку то интегральная сумма
п п п
Sn = ^f{ci) Джг = ^2 1 ' AXi = Y;(Xi ~ Xi~l) = г=1 г=1 г=1
= (Ж1 - ж0) + (ж2 - xi) + ... + (xn-i - хп-2) + (хп - Xn-i) =
= хп — жо = b — а. Если выбрать иррациональную точку то f(ci) = 0 и
п п п
Sn = Y, f(°i) Axi = Е0 • Axi = Е0 = °-
г=1 г=1 г=1
8*
228
Гл. 12. Определенный интеграл
Таким образом, с одной стороны Sn = b — а, с другой стороны Sn = 0. Поэтому предел интегральных сумм не существует и функция Дирихле не является интегрируемой.
Отметим без доказательств, что справедливы следующие утверждения:
1. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6], то она интегрируема на любом отрезке [с, of], содержащимся в [а, 6].
2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6], то она интегрируема на этом отрезке.
3. Если функция f(x) имеет на отрезке [а, Ь] конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на [а, Ь].
12.3. Геометрический смысл интеграла
В случае, когда функция у = f(x) неотрицательна на от-ь
резке [а, Ь\, где а < 6, dx численно равен площади S под
а
кривой у = f(x) на [а, Ь]. Это следует из определения интеграла: при стремлении тахАж^ к нулю ширина ступенек стремится к нулю и интегральная сумма превращется в площадь фигуры под кривой.
Если а < b и f(x) ^ 0, то
b
f(x) dx = —S,
a
т. е. определенный интеграл от функции, принимающей неположительные значения, равен площади соответствующей криволинейной трапеции, взятой со знаком минус (рис. 12.3).
Если а < b и f(x) меняет знак на отрезке [а, 6], то определенный интеграл равен алгебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций (рис. 12.3):
b
f(x) dx = Si - S2 + S3.
a
12.4- Интеграл в социально-экономической сфере
229
У
У
a b
х
x
ъ
ъ
\f{x)dx = -S
jf(x)dx = S1-S2 + Ss
а
а
Рис. 12.3. Геометрический смысл интеграла
12.4. Интеграл в социально-экономической сфере
Определение интегральной суммы позволяет использовать понятие определенного интеграла в социально-экономической сфере. Его применение основано на том, что любой меняющийся социально-экономический процесс может быть интерпретирован как скачкообразный, скачки которого близки к нулю.
Количество денег, поступивших в Сбербанк за определенный промежуток времени. Пусть и = f(t) описывает количество денег поступающих в сберегательный банк в каждый момент времени t. Требуется определить общее количество денег [/, поступивших в банк за промежуток времени [О, Т].
Если f(t) = const, то количество денег [/, поступившее в банк за промежуток времени [О, Т], находится по формуле U = = f(c) • (Т — 0) = f(c) Т, где с произвольное значение из отрез-
Если в каждый момент времени за промежуток времени [0, Т/2] в банк поступает f(c\) денежных единиц, а в каждый момент времени в промежутке [Т/2, Т] — f(c2) денежных единиц, то общее количество денег, поступившее за промежуток времени [0, Т], подсчитывается по формуле
ка [0, Т].
U = f(Cl)T/2 + f(c2)T/2.
230
Гл. 12. Определенный интеграл
Пусть f(t) — произвольная кусочно-непрерывная функция на отрезке [0, Т]. Разобьем отрезок [0, Т] на промежутки времени точками:
0 = t0 < ti < t2 < ... < tn-i <tn = T.
Количество денег AUi, поступивших в банк за промежуток времени [ti-i, ti], приближенно может быть вычислено по формуле
AUaf(Ci)AU,
где С{ Е [ti-i, ti], Ati = ti — ti-i, i = 1, 2, ..., n (точность этого равенства тем выше, чем меньше Ati). Тогда
п п
t=l г=1
При стремлении maxAt^ к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому
