Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 62

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 123 >> Следующая

12.1. Исторические сведения
221
Математические работы Архимеда намного опередили свое время и были правильно оценены только в эпоху создания дифференциального и интегрального исчисления. Архимед вычислил площадь эллипса, параболического сегмента, нашел площадь поверхности и шара, объем шара и сферического сегмента, а также объемы различных тел вращения и их сегментов. Ему принадлежит также понятие центра тяжести тела, он нашел положение центра тяжести различных фигур и тел, дал математический вывод законов рычага. Рассказывают, что Архимед нашел решение задачи об определении количества золота и серебра в жертвенной короне сиракузского царя Гиерона, когда садился в ванну, и нагим побежал домой с криком «эврика!» (нашел). Крупнейшим его достижением в астрономии было построение планетария — полой вращающейся сферы, на которой можно было наблюдать движение солнца и пяти планет, фаз луны, солнечные и лунные затмения.
При взятии Сиракуз Архимед был убит римским солдатом, которого, по преданию, встретил словами: «Не трогай моих чертежей». На могиле Архимеда был поставлен памятник с изображением шара и описанного вокруг него цилиндра. Эпитафия указывала, что объемы этих тел относятся как 2:3, — открытие Архимеда которое он особенно ценил.
Систематическое развитие подобные представления получили значительно позже — лишь в XVII веке. Так, например, теорему Архимеда о том, что площадь круга равновелика площади треугольника с основанием, равным длине окружности, и высотой равной радиусу, И. Кеплер доказывал в нескольких словах: каждая точка окружности рассматривается как основание равнобедренного треугольника с вершиной в центре круга и высотой, равной радиусу; площадь круга состоит из бесконечного числа треугольников, в совокупности равновеликих треугольнику с той же высотой, то есть радиусом, и основанием, равным сумме всех оснований, то есть длине окружности.
КЕПЛЕР (Kepler) Иоганн (1571-1630) — немецкий астроном и математик. Родился в Вейль-дер-Штадте (Вюртенберг, Германия). Обрабатывая наблюдения датского астронома Т. Браге установил три закона движения планет. Изложил теорию солнечных и лунных затмений, их причины и способы предсказания. Изобрел простейшую зрительную трубу, которая до сих пор называется его именем. Оригинальными приемами интеграции нашел объемы 92 тел вращения.
Пользуясь такого рода рассуждениями И. Кеплер нашел объемы многих новых тел вращения. Известные в астрономии законы Кеплера фактически также были получены им с помощью приближенного интегрирования.
Замечательно остроумные приемы Архимеда, Кеплера и других ученых не обладали, однако, строгостью, а главное, как
222
Гл. 12. Определенный интеграл
правило, носили характер геометрических преобразований, для каждого случая особых и поэтому лишенных общности.
Кавальери, Торричелли, Ферма, Паскаль и другие ученые XVII века еще больше приблизились к современным представлениям об интеграле. Барроу установил связь между задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. А И. Ньютон и Г. Лейбниц независимо друг от друга в 70-х годах
XVII века отделили эту связь от упомянутых частных геометрических задач и создали алгоритмы дифференциального и интегрального исчислений.
И. Ньютон открыл взамно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. Он указывал, что все задачи нового анализа сводятся к двум взамно обратным проблемам, которые могут быть сформулироаны в терминах механики: 1) определение скорости движения в данный момент времени по известному пути и 2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости движения. «Время» при этом понималось просто как общий аргумент всех переменных. Вводит он и понятие дифференциала, которое называет моментом. И. Ньютон намечает программу построения анализа на основе учения о пределе, не давая впрочем формального определения этого понятия, получившего глубокое развитие в математике XIX века.
Г. Лейбниц свел частные и разрозненные приемы вычисления площадей, проведения касательных и т. п. в единую систему взаимно связанных понятий анализа, выраженных в обозначениях, позволяющих производить действия с бесконечно малыми по правилам определенного алгоритма. При этом дифференциал в основном понимался как бесконечно малая разность двух соседних значений величины (отсюда его символ d — первая буква латинского слова differentia (дифференция) — разность,
и отношение дифференциалов соответствующее производной), кривая рассматривалась как многоугольник с бесконечно большим бесконечно малых сторон, касательная — как прямая продолжающая одну из таких сторон. Г. Лейбниц ввел понятие об интеграле как о сумме бесконечного числа дифференциалов. Таким образом, главными понятиями анализа Г. Лейбница являлись дифференциал как бесконечно малая разность и интеграл как сумма.
Дальнейшее развитие методы интегрирования получили в
XVIII и XIX веках. В XVIII веке в работах Л. Эйлера были найдены практически все известные в настоящее время приемы
12.2. Понятие определенного интеграла
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed