Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
dx,
sin х2 dx,
sin x
dx,
COS X
dx,
cos x2 dx,
dx In x
не сводятся к конечной комбинации элементарных функций.
Хорошими помощниками при интегрировании служат математические пакеты символьных вычислений, которые вобрали в себя практически все что известно об интегралах. Приведем примеры вычисления некоторых интегралов в пакете Maple.
Потребуем от компьютера вычисления «неберущегося» инте-sin X
-dx. Для этого напишем в командной строке:
грала
>int(sin(x)/x,x);
и нажмем клавишу Enter. Компьютер ответит: Si(x) .
Обратившись через Help к помощи узнаем, что через Si(x) обозначается специальная функция, являющаяся одной из перво-
образных от функции
sin х
и называемая интегральным синусом
или the Sine Integral (синусный интеграл). Таким образом, ответ дан верно (+ С компьютер не пишет).
Преимущества использования пакета особенно заметны, когда приходится применять неоднократные интегрирования по частям. Новых знаний подобная операция не прибавляет, а времени отнимает много. Пусть, например, требуется вычислить интеграл
218
Гл. 11. Неопределенный интеграл
J ж6 sin х dx. Ясно, что нахождение этого интеграла требует 6 интегрирований по частям, что является весьма утомительным и может привести к механической описке при вычислении. Гораздо проще вычислить этот интеграл на компьютере в пакете Maple. Пишем команду:
>int(x~6*sin(x),х);
Нажимаем Enter и получаем ответ:
— х6 cos(x) + 6 хъ sin(x) + 30 х4 cos(x) — 120 х3 s'm(x) —
- 360 х2 cos(x) + 720 cos(x) + 720 x sin(x).
Для вычисления интеграла
.3 о 2
2ж^ + 4
о dx набираем
ж2 + 2ж-3
>int((x~3-2*x~2+4)/(x'42+2*x-3) ,х);
Ответ: ^ж2 - 4ж + у \п(х + 3) + ^ ln( —1 + х). (Интеграл
вычисляется выделением в подынтегральном выражении целой части и разложением остатка в сумму простейших дробей.)
f 1
Пусть требуется вычислить интеграл
1 + sin х + cos х
dx.
После выполнения компьютером команды
>int(l/(l+sin(x)+cos(x)),х);
получаем In ^2 + 2 tg ^ x^j ^ . ^Этот интеграл от выражения,
содержащего тригонометрические функции, можно вычислить с помощью универсальной тригонометрической подстановки t =
= tg
¦»
х
Чтобы вычислить интеграл — г- dx на ком-
J у/(7*х-10 -x2f
пьютере, вводим команду
>int(x/sqrt((7*x-10-x~2)~3) ,х);
и нажимаем клавишу Enter.
п 2 (7 х- 20) (-7^ + 10 + х2)
Ответ: —-- =—-. Ьез использования Maple
9 ^/-(-^ж + Ю + ж2)3 пришлось бы применить так называемую третью подстановку
11.6. Компьютерное интегрирование
219
Эйлера, которая для данного примера имеет вид t = = у/7 х - 10-х2/(х-2).
Интегрирование при помощи компьютера превращает былое искусство в элементарное нажатие кнопок. Поэтому многие, возможно, еще жалеют о том времени, когда приходилось применять чудеса смекалки, чтобы вычислить тот или иной интеграл. Стоит ли жалеть об этом? Думается, что нет. То, что трудоемко и требует больших затрат времени, уходит в прошлое. Такова логика развития. Ведь не пытаемся же мы вспомнить как делятся римские цифры. А деление римских цифр — это тоже целое искусство. Римская система, в отличие от арабской, не является позиционной. Поэтому выполнения арифметических операций в этой системе сродни искусству. Чтобы научиться арифметическому делению, в Европе в средние века требовалось закончить университет. Да еще не всякий университет мог научить этой премудрости. Нужно было непременно ехать в Италию: тамошние математики добивались большого искусства в делении римских цифр. Деление же миллионных чисел было доступно лишь бородатым мужам, посвятившим этому занятию всю жизнь.
Римская система счисления, распространенная в средние века в Европе, оказалась неудобной для арифметических операций и канула в лету. Мы стали проводить необходимые вычисления быстро и легко, полностью забыв об искусстве счета в римской системе счисления. Так надо ли жалеть о том, что рутинное искусство интегрирования также уходит в прошлое? Не лучше ли направить свои знания, навыки, смекалку и выдумку на задачи, которые еще ждут своего решения?
Тот, кто имеет достаточные навыки в анализе, сможет все увидеть с необычайной легкостью.
Л. Эйлер
Глава 12 Определенный интеграл
12.1. Исторические сведения
Интегральное исчисление возникло из задач на определение площадей и объемов. Эмпирически обнаруженные правила измерения площадей и объемов некоторых простейших фигур были известны еще ученым Древнего Востока. Уже за 2000 лет до н. э. египтяне и вавилоняне умели, в частности, приближенно измерять площадь круга и знали правило вычисления объема усеченной пирамиды с квадратным основанием. А существенный прогресс в вычисление площадей и объемов различных фигур внесла древнегреческая наука. Особенно большой вклад был внесен Архимедом. Архимед нашел площади многих фигур и объемы значительного числа тел, основываясь на представлении, что плоская фигура состоит из бесчисленного множества прямых отрезков, а геометрическое тело — из бесчисленного количества параллельных плоских сечений.
АРХИМЕД (около 287-212 до н.э.) — древнегреческий математик, физик, астроном и изобретатель. Родился в Сиракузах (о. Сицилия) и жил в эпоху 1-й и 2-й Пунических войн. Архимед — автор многочисленных технических изобретений: машины для орошения полей, водоподъемного механизма (архимедов винт), системы рычагов, блоков для поднятия больших тяжестей, военных метательных машин и т. п. Во время 2-й Пунической войны он возглавлял оборону Сиракуз. Его метательные машины вынудили римлян отказаться от попытки взять город штурмом и заставили перейти к осаде.
