Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 60

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 123 >> Следующая

1
V Пример 6. Найти
Решение. Поскольку 1
Зж + 2
dx.
— dx = In \х\ + С,
х
применив теорему 2, получим
3-^ = Iin|3, + 2| + a А
11.5. Метод интегрирования по частям
Пустые = и(х) ни = v(х) —дифференцируемыефункции. По правилу дифференцирования произведения двух функций имеем
(u(x) v(x))' = u(x) v{x) + u{x) v'{x).
Интегрируя левую и правую части последнего равенства по переменной ж, получаем
(u(x) v{x))' dx =
u'(x) v(x) dx +
u(x) v'(x) dx,
u(x) v(x) + С =
uf(x) v(x) dx + u(x) vf(x) dx.
Так как J u(x) vf(x) dx уже содержит произвольную постоянную, то можно опустить С и записать равенство в виде
u(x) v(x) =
uf(x) v(x) dx +
u(x) vf(x) dx.
214
Гл. 11. Неопределенный интеграл
Используя определение дифференциала {du = и' dx, dv = v' dx), последнее равенство можно записать в форме
и v =
v du +
и dv
или
и dv = и v — v du.
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Ею обычно пользуются в тех случаях, когда подынтегральное выражение v du проще, чем подынтегральное выражение и dv.
V Пример 1. Найти |жеж dx.
Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим и = х, dv = ех dx. Тогда du = dx, v = |еж dx = = ех + С. Теперь, применяя формулу интегрирования по частям, получаем
х ех dx =
и = х, dv = еж
du = dx
+ С
= и v
v du =
= х(ех + С)-
(еж + С) dx =
= х ех + С х - ех - Сх + d = ех (х - 1) + С±.
Анализ полученного решения показывает, что слагаемые, содержащие С, уничтожаются. Аналогично, в общем случае постоянная С, возникающая при нахождении v, не входит в запись окончательного ответа. Поэтому в дальнейшем, применяя формулу интегрирования по частям и найдя v, будем полагать С = 0, что несколько упрощает запись решения. А
V Пример 2. Найти |ж cosxdx.
Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим и = х, dv = cos х dx. Тогда du = dx,
v = cos x dx = sin x
11.5. Метод интегрирования по частям
215
(С = 0). Теперь, применяя формулу интегрирования по частям получаем
х cos х dx =
и = х, du = dx dv = cos ж, v = sin x
= x sin x — sin x dx = = x sin x + cos ж + С. A
Задача 1. Найти |ж sin ж of ж. Ответ: —ж cos х + sin ж + С.
V Пример 3. Найти |ж2 cosxote. Решение.
ж2 cos х dx =
и = ж2, о!гл = (x2)fdx = 2х dx dv = cos ж, г> = sin ж
= sin ж — 2
ж sin ж dx.
К полученному интегралу применяем интегрирование по частям (задача 1). Окончательно получаем:
х2 cos х dx = х2 sin х + 2 х cos х — 2 sin ж + С.
В данном примере формулу интегрирования по частям была применена дважды: после первого интегрирования по частям степень переменной х в подынтегральном выражении уменьшилась на единицу. Второе применение формулы интегрирования по частям привело уже к табличному интегралу. А
Задача 2. Найти |ж s'mxdx.
Ответ: —х 2 cos х + 2 х sin х + 2 cos х + С.
V Пример 4. Найти |ж \nxdx.
Решение.
х In х dx =
и = In х, du = (In xYdx = — dx
x2 X
dv = x dx, v = —
216
Гл. 11. Неопределенный интеграл
= -\пх-
^ 1
2 х
xz Л 1
= — In х — -2 2
dx =
х dx = \ х2 In х — \ х2. 2 4
Если выбрать функции и и v в виде и = х, dv = In х dx, то
возникает интеграл v = J In ж dx, который не является табличным
(не путать интеграл с производной!). Таким образом, такой выбор функций приводит к интегралу, который не легче исходного.
Интеграл v = J In х dx также находится с помощью интегрирования по частям. Он вычислен ниже. Отметим, что даже если его подставить в формулу интегрирования по частям, то получим интеграл, который труднее исходного. Поэтому прежде чем интегрировать по частям, надо в уме прикинуть, что может дать тот или иной выбор функции и. А
V Пример 5. Найти ^Inxdx. Решение.
In х dx =
и = In ж, du = (\nx)'dx = dv = dx, v = x
= x In x —
— dx
X
x — dx = x In x — x + C.
X
Задача 3. Найти J x arctg ж dx. Ответ: ^- arctg x — i x + i arctg x + C.
11.6. Компьютерное интегрирование
В предыдущих параграфах были рассмотрены лишь простейшие интегралы. Поэтому может показаться, что отыскание интегралов — это легкое дело. На самом деле это не так. Если при нахождении производных действуют механически, руководствуясь определенными правилами, то при интегрировании часто требуется проявить догадку, найти какую-нибудь нестандартную подстановку. Большая часть подобных находок классифицирована и описана в литературе. Выделены специальные классы функций для интегрирования которых используется один и тот же прием. В учебниках наиболее часто выделяют следующие классы:
11.6. Компьютерное интегрирование
217
1) рациональные функции;
2) иррациональные выражения, вычисляемые при помощи рационализации;
3) иррациональные выражения, вычисляемые при помощи подстановок Эйлера;
4) биномиальные дифференциалы;
5) тригонометрические функции.
В справочниках подобных классов интегрирования значительно больше.
Более того, описаны непрерывные элементарные функции, интегралы от которых не являются элементарными функциями. Такие интегралы часто называют «неберущимися», подразумевая под этим, что такого рода интегралы не могут быть выражены с помощью конечного числа элементарных функций (они имеют представление только в виде ряда!). Например, интегралы
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed