Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
dx,
1
* 1 4
V Пример 1. Найти \x3dx, —dx, f Vx^ dx,
j x j
dx.
Решение. Все пять интегралов имеют вид: |жа dx. В первом
случае а = 3, во втором а = —3, в третьем а = 5/4, в четвертом а = —5/4 и в пятом а = — 1. В первых четырех случаях а ф — 1, поэтому применяем формулу 2:
^ск+1
ха dx =
а + 1
+ с.
5 5
При а. = 3. а. = —3, а = - и а = — - имеем:
4 4
—г dx =
х6
x
х3 dx =
dx =
х
3+1
3 + 1
-3+1
-3 + 1
+ с
+ С--
1
2х
^2+ С,
хъ dx —
х4 dx =
х-
+ С = ^- + С =
4
+ С,
11.3. Непосредственное интегрирование
209
dx =
4+i
х 4 dx = -+ С = ^—г + С = --^= + С.
-- + 1 -- Ух
В следующем примере формулу 2, с помощью которой были найдены предыдущие интегралы, использовать нельзя, так как а = — 1. Но этот интеграл также является табличным (формула 5):
х 1 dx =
— dx = In \х\ + С. А
V Пример 2. Найти
(J-
+
— ) dx.
\\fx 5 cos2 (ж) х, Решение. Используя свойства 4 и 5 и формулы 2,5,9, имеем:
(- .
V \fx 5 cos2 (ж) х
+
dx = 3
dx 1 W+ 5
dx
cos (ж)
-2
x
= 3^— + itgs-2 lnx + C = -5 + 1 5
= 4,5 ?x* + \ tgx - 2 In ж + С. A
5
V Пример 3. Найти
Решение.
1 + Зж2
1 + ЗаГ
х2(1 + х2)
(1 + х2)
б/ж =
х2(1 + х2) (1 + ж2) + 2ж2
б/ж.
хг(1 + хг
dx +
х2(1 + х2) 2х2
xz(l + x2
dx =
dx =
dx , —dx +
1
2dx 1 + x2
dx =
=--+ 2 arctg x + С. A
Задача. Найти неопределенный интеграл Результат проверить дифференцированием.
Г3-2ж4+ ?^
dx.
210
Гл. 11. Неопределенный интеграл
Ответ: 4 Vx3 - — \[х^ + Х\[х^ + С. 19 17
11.4. Метод замены переменной
К наиболее важным методам интегрирования относятся методы: непосредственного интегрирования, замены переменной, интегрирования по частям.
Метод непосредственного интегрирования рассмотрен в предыдущем параграфе.
Метод замены переменной (или метод подстановки) основан на следующей теореме.
Теорема 1. Если F(t) — первообразная функции f(t), a t = = (р(х) — дифференцируемая функция, то функция f (<р(х)) ф'{х) также имеет первообразную, причем
f(<p{x))<p'{x)dx = F(<p{x)) + C.
(11.2)
? По правилу дифференцирования сложной функции (F(V(x)))'x = F}(t) • <//х(х) = / И*))
т. е. функция f ((р(х)) (pf(х) имеет в качестве одной из своих первообразных функцию F(cp(x)). Следовательно,
f(<p(x))<p'(x)dx = F{<p(x)) + C,
что и требовалось доказать. ¦
Эта формула позволяет свести вычисление интеграла
^ f (ip(x)) ipf(x) dx к вычислению интеграла ^f(t)dt. При этом
вместо (р(х) мы подставляем переменную t, а вместо <р'(х) dx — дифференциал этой переменной, т. е. dt. Поэтому формула (11.2) называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла.
V Пример 1. Найти Jesin:E cosxdx.
Решение. В данное подынтегральное выражение входит множитель cos х dx, являющийся дифференциалом функции sin ж.
11.4- Метод замены переменной
211
Полагая sin ж = ?, получим |е8ШЖ cos х dx = Je* dt = el + С. Возвращаясь к переменной ж, находим:
es[nx cosxdx = es[nx + С.
Проверим полученный результат:
(е81пж + С)' = е81пж (sin ж)7 = е81пж cos ж. А
ж dx
V Пример 2. Найти —.
J \/Зж2 + 5
Решение. Числитель данного подынтегрального выражения напоминает дифференциал для подкоренного выражения 3 х2 + 5; в самом деле, d (3 х2 + 5) = (3 х2 + 5)f dx = 6 х dx. Это наводит на мысль о целесообразности подстановки t =
= 3 х2 + 5. Тогда dt = 6 х dx, откуда х dx = - dt. Таким образом,
6
t 3 dt =
х dx Г ed* l
\/Зж2 + 5 J n 6 J
з
V Пример 3. Найти x + 4 dx.
Решение. Положим ? = 3 x + 4. Тогда dt = 3 dx, dx = i oft,
о
л/Т • i • =
л/3 ж + 4 dx =
2
Заметим, что в простых случаях нет нужды вводить новую переменную. Так, предыдущий пример можно решить следующим образом. Находим в уме дифференциал от подкоренного выражения 3 х + 4: d (3 х + 4) = 3 dx. Вводим в подынтегральное
212
Гл. 11. Неопределенный интеграл
выражение перед dx множитель 3; для компенсации ставим -
о
перед интегралом. Получаем:
л/Зж + 4 • d (3 х + 4) =
л/Зж + 4 • 3 • dx = \
О
3 2
В последнем решении новая переменная не выписана явно в виде t = 3 х + 4. В этом случае говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала.
V Пример 4. Найти |(2 ж — 5)9 dx.
Решение.
(2ж-5)9бЬ =
(2ж-5)9-2-бЬ =
(2х - 5)9 d(2x - 5) = \ (2Ж105)1° + С =
= ^(2*-5)10 + С. А
V Пример 5. Найти Jcos(3x + 2) dx. Решение.
cos(3 х + 2) dx =
cos(3 ж + 2) • 3 • dx =
cos(3 x + 2) • d (3 ж + 2) = - sin(3 x + 2) + C. A
о
В примерах 3-5 была использована линейная подстановка t = = к х + 6, где & ф 0) и 6 — некоторые числа. Применим эту подстановку к общему интегралу вида J f(k х + b) dx. Пусть F(x) — некоторая первообразная для функции f(x). Тогда
f(k х + b) • к • dx =
f(k х + b) dx = j
11.5. Метод интегрирования по частям
213
f(k х + b) • d (к х + b) = j- F(k x + b) + C.
Таким образом, верна следующая теорема, часто применяемая на практике.
Теорема 2. Пусть F(x) — некоторая первообразная для функции f(x). Тогда
f(k х + b) dx = - F(k x + b) + С,
к
где к и b — некоторые числа, к ф 0.
