Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Из множества первообразных данной функции f(x) только одна может принимать данное значение b при данном значении аргумента х = а. Если известен интеграл
f(x)dx = F(x) + C,
f(x)dx = F(x) + C,
204
Гл. 11. Неопределенный интеграл
то соответствующее значение постоянной С находится из соотношения
b = F(a) + C.
V Пример. Найти ту первообразную от функции Зж2, которая принимает значение 6 при х = 2.
Решение. Имеем:
3x2dx = x3 + C.
(11.1)
Постоянную С находим из соотношения 6 = 23 + С. Получаем С = —2. Подставляя в (11.1), находим искомую первообразную функцию
у = x
2.
Геометрически задачу можно сформулировать так: найти ту интегральную кривую функцию Зж2, которая проходит через точку (2, 6). Искомая линия есть кубическая парабола. А
Задача. Найти ту первообразную от функции ^ж, которая принимает значение 3 при х = 2.
Ответ: Fix) = \х2 + 2. 4 ' 4
11.2. Свойства неопределенного интеграла
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
f(x)dx)' = f(x)
? (jf(x)dx)' = (F(x) + Cy = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x). I
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
d
f(x) dx^j = f(x) dx.
11.2. Свойства неопределенного интеграла
205
? d (\f{x)dx) = I применим определение дифференциала! =
= Q/(#) dx^j dx = (применим свойство 1| = f(x) dx. Ш
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого С:
dF(x) = F(x) + C.
? Пусть производная функции F(x) равна /(ж).Тогда|б/Р(ж) = = J F'{x) dx = \f{x)dx = F{x) + С.Ш
Таким образом, согласно свойствам 2 и 3, операции интегрирования и дифференцирования в некотором смысле взаимно
обратны (знаки d и J взаимно уничтожают друг друга, в случае
свойства 3, правда, с точностью до постоянного слагаемого).
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
kf(x)dx = к
f(x)dx,
где к — некоторое число, отличное от нуля.
? Найдем производную функции g(x) = ^kf(x)dx — к J f(x) dx:
д'(*) = (
к f(x) dx — к
f(x)dxSj =
kf(x)dx^j — к ^ f(x)dx^j =
= (применим свойство 11 = к f(x) — к f(x) = 0.
По следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число С, что д(х) = С, и значит
к f(x) dx = к
f(x)dx + C.
Так как сам неопределенный интеграл находится с точностью до постоянного слагаемого, то в последнем равенстве постоянную С
206
Гл. 11. Неопределенный интеграл
можно опустить. ¦
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:
(f(x)±g(x))dx =
f(x)dx ±
g(x) dx.
Доказательство аналогично доказательству свойства 4. Нетрудно видеть, что свойство 5 остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.
V Пример. Найти |(4 х3 - 3 х2 + 2 х) dx.
Решение. Имеем:
(4х3 - Зх2 + 2x)dx =
(4xs)dx-
(3x2)dx +
(2x)dx =
= (x4 + Ci) - (x3 + C2) + (x2 + Cs) = x4-x3 + x2 + C,
где С = Сi — C2 + C3. Заметим, что здесь нет необходимости выписывать при промежуточных вычислениях постоянное слагаемое для каждого интеграла. Достаточно приписать его после выполнения всех интегрирований. А
11.3. Непосредственное интегрирование
Всякая формула дифференцирования, рассмотренная в обратном порядке, дает формулу интегрирования, например:
(е2ж + cos ж)7 = 2е2ж - sin ж,
(2 е2х - sin х) dx = е2х + cos х + С.
Таким образом, из таблицы производных нетрудно получить таблицу интегралов (см. следующую страницу).
Справедливость каждой формулы проверяется непосредственно дифференцированием.
Например, формула 1 верна, так как (х + С)' = х' + С = 1.
Формула
11.3. Непосредственное интегрирование
207
Таблица интегралов
/0*0
\f{x)dx
1
ха (а ф -1)
х + С
„а+1
а + 1
+ С
3
4
ех + С ах/1па + С
— (ха, а = х
-1)
ж In а
In \х\ + С
\oga \х\ + С
cos x
sin х
sin х + С - cos х + С
9
10
cos2 X
sin2 ж
tgx + C -ctgx + С
11 12
Va2-,
(a > 0, —a < x < a) (а ф 0)
\/ x2 + a
In
arcsin —hC a
с + л/ж2 + а
+ C
13 14
ж + а
- arctg — + С
2 2
ж — а
(а^О)
J-ln
2а
х — а
х + а
+ с
следует из равенства
1
ка + 1 у \а + 1 Докажем равенство
¦ ж
а+1 \ _
-(« + 1)жа =Жа.
— = In х + С.
X
Пусть х > 0. Тогда |ж| = х и (In |ж| + С)7 = (\пх + С)' = —
208
Гл. 11. Неопределенный интеграл
Если х < 0, то |ж| = —х и (In |ж| + С) = (1п(—х) + С) = — = = 1,т.,в„6о™ях„ро„звод„а1.
X X
Аналогично доказываются остальные формулы.
Интегрирование, основанное на прямом использовании таблицы интегралов, называется непосредственным интегрированием.
При непосредственном интегрировании могут представиться следующие случаи:
1) данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;
2) данный интеграл после применения свойств 4 и 5 приводится к одному или нескольким табличным интегралам;
3) данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 4 и 5 приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Рассмотрим три примера, каждый из которых соответствует одному из трех случаев непосредственного интегрирования.
