Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 57

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 123 >> Следующая

За аргумент удобно принять R. Из (10.10) и (10.11) находим:
Найдем производную этой функции:
S'(R) = 2 (--^ + 2тгя).
Аргумент изменяется в промежутке (0, +оо). В этом промежутке имеется единственная критическая точка
R = I (10.12)
V 2 7г
Она и соответствует наименьшему значению S. Из (10.11) и (10.12) находим:
н= v
ttR2
т. е. высота банки должна равняться диаметру основания. Наименьшее количество жести, требуемое для изготовления банки, равно Яаим = 2 тг (R Н + R2) = 6 тг R2 = 3 л/2тгУ2 « 879 см2. А
Кофе, конфеты, мед, сгущенное молоко и другую продовольственную продукцию часто упаковывают в цилиндрические банки. При этом крышка, дно и боковая поверхность банки часто имеют разную толщину или же бывают сделаны из разных материалов (например, полиэтилен, пластмасса, картон и жесть). Предлагаем следующее обобщение предыдущей задачи:
Задача. Пусть каждый квадратный сантиметр крышки цилиндрической банки стоит а денежных единиц, дна банки — b
200 Гл. 10. Применение дифференциального исчисления..
денежных единиц, а боковой поверхности банки — с денежных единиц. Определить каково должно быть отношение высоты Н к диаметру банки чтобы при объеме V ее стоимость была наименьшей.
Указание. Объем V равен тт R2 Н. Откуда Я = V/(tt R2). Подставляя это выражение для Н в формулу стоимости P = a- 7rR2 + b- 7rR2 + c-27rRH, получим
Наименьшее значение в интервале (0, +оо) эта функция принимает при
Р(Я) = (а + 6)тг R2 + 2cV/R.
Ответ: H/D = (а + Ь)/(2с).
Раздел III Интегральное исчисление
Смысл — там, где змеи интеграла Меж цифр и букв, меж d и /!
В. Брюсов
Глава 11 Неопределенный интеграл
11.1. Неопределенный интеграл
Определение. Пусть функция f(x) есть производная от функции F(x):
F'(x) = f(x).
Тогда F(x) называется первообразной для функции f(x). Функция Зж2 есть производная для функции ж3:
(х3)' = 3х2.
Поэтому по определению функция ж3 является первообразной для функции Зж2.
Функция 4 ж3 есть производная для функции х4:
(х4У = Ах\
По определению функция х4 является первообразной для функции 4 ж3.
Первообразной для функции 5 х4 служит функция ж5, так как
(хъ)' = Ъх4.
202
Гл. 11. Неопределенный интеграл
Функция f(x) = Зж2 является производной функции F(x) = = х3. Но она также является и производной функции F\(x) = = х3 + 1, поскольку
(х3 + l)f = 3х2 = f(x).
Поэтому функция 3 х2 имеет не одну первообразную. По определению функции F(x) = х3 и Fi(x) = х3 + 1 являются ее первообразными. Функция F2(x) = х3 + 2 также является первообразной для Зж2. Более того, любая функция вида
ж3 + С,
где С — произвольное число, также является первообразной для функции f(x) = Зж2, так как
(ж3 + С)' = Зж2.
Таким образом, функция Зж2 имеет бесчисленное множество первообразных.
Аналогично, в общем случае, если F(x) — некоторая первообразная для / (ж), то поскольку
(F(x) + C)' = F'(x) = f(x),
функция вида F(x) + С, где С — произвольное число, также является первообразной для f(x).
Остается вопрос, имеет ли функция f(x) другие первообразные, которые не описываются выражением вида F(x) + С. Ответ на него дает следующая
Теорема. Если F\(x) и F2(x) — первообразные для функции f(x) в некотором промежутке X, то найдется такое число С', что справедливо равенство
F2{x) = F1(x) + C.
? Поскольку
{F2(x) - Fi(aO)' = F&x) - Fi(x) = f(x) - f(x) = 0,
то по следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число С, что F2(x) - Fi(x) = С или F2(x) = F^x) + С.Ш
Из данной теоремы следует, что если F(x) — первообразная для функции /(ж), то выражение вида F(x) + С, где С — произвольное число, задает все возможные первообразные для f(x).
11.1. Неопределенный интеграл
203
Определение. Наиболее общий вид первообразной для функции f(x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается ^f(x)dx. Таким образом:
где F(x) — некоторая первообразная для / (ж), С — произвольная постоянная.
Слово «неопределенный» подчеркивает, что в общее выражение первообразной функции входит слагаемое, которое можно выбрать произвольным.
Знак J называется знаком интеграла, функция f(x) — подынтегральной функцией, выражение f(x)dx — подынтегральным выражением, переменная х — переменной интегрирования.
Обозначение dx читается так: «интеграл эф от икс дэ
икс».
Знак J (вытянутая буква S), введенный Лейбницем, происходит от начальной буквы латинского слова Summa (сумма), а термин интеграл, введенный учеником Лейбница Якобом Бернул-ли — от латинского слова integralis (целостный). И знак, и термин были введены для того, чтобы отличить «сумму бесконечно малых» от обычной суммы. По другому предположению, Якоб Бернулли произвел термин от латинского integro (приводить в прежднее состояние, восстанавливать).
БЕРНУЛЛИ (Bernoulli) Якоб (1654-1705) — самый знаменитый из трех выдающихся поколений математиков Бернулли (Базель, Швейцария), применившими и развившими дифференциальное и интегральное исчисление Лейбница. Он был также автором первого трактата по математической теории вероятностей.
Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed