Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Если \Ех(у)\ < 1, то \ВС\ < \АС\. Если \Ех(у)\ > 1, то \ВС\ > \АС\.
Вывод: Неэластичность кривой спроса в точке С означает, что отрезок касательной, проведенной к этой кривой в точке С, с концами А и В на осях координат, делится точкой С так, что отрезок АС длиннее отрезка ВС (рис. 10.1). Эластичность кривой спроса в точке С означает, что отрезок касательной делится точкой С так, что отрезок АС короче отрезка ВС.
196 Гл. 10. Применение дифференциального исчисления..
10.4. Принцип акселерации
Рассмотрим некоторое предприятие, выпускающее потребительскую продукцию у. Зададимся вопросом: как инвестиции в расширение производства этого предприятия влияют на рост его продукции? Очевидно, увеличение инвестиций i(t) ведет к росту продукции y(t). Но весь вопрос состоит в том в каких размерах это происходит. Как эту зависимость выразить аналитически?
Предположим, что с некоторого начального момента времени t = 0 инвестиции отсутствуют; тогда выпуск продукции должен остаться на прежнем уровне, т. е. если i(t) = 0, то y(t) = у(0) (рис. 10.2).
0
2/(0)
о
Рис. 10.2. Выпуск продукции в условиях отсутствия инвестиций
0
Рис. 10.3. Выпуск продукции в условиях постоянного инвестирования
Если же предприятие инвестируется, причем инвестиции постоянны, то производство постоянно расширяется и выпуск продукции должен линейно расти, т. е. y(t) = ct + у(0) при i(t) = = b > 0 (рис. 10.3).
Выразить из этих графиков зависимость между переменными i(t) и y(t) с помощью алгебраических уравнений невозможно.
10.4- Принцип акселерации
197
Наилучшим уравнением, выражающим эти графические зависимости между i(t) и y(t), является не алгебраическое уравнение, а уравнение, содержащее вместо переменной ее производную:
dy(t)
dt
= ki(t). (10.8)
Уравнение (10.8) достаточно точно отражает реальную ситуацию. Действительно, если i(t) = 0 из (10.8) получаем — 0
или y(t) = const = у(0); если же i(t) = 6, то = kb или
y(t) = kbt + y(0).
Вывод: рост инвестиций ведет не столько к росту продукции, сколько к скорости роста, причем скорость роста прямо пропорциональна увеличению инвестиций.
* * *
В реальной рыночной экономике предприятие не может бесконечно увеличивать рост своей продукции. Оно увеличивает производство только в том случае, если есть спрос на его продукцию. Предприятие должно мгновенно реагировать на изменения спроса q(t) и выпускать продукции ровно на столько больше на сколько больше увеличивается спрос, т. е. предприятие должно выпускать продукцию y(t) так, чтобы она совпадала по величине со спросом q(t) на нее:
V(t) = q(t).
Из этого уравнения и равенства (10.8) получаем, что для того, чтобы удовлетворить этим требованиям, инвестиции должны удовлетворять уравнению
dqjt) dt
= ki(t).
После введения нового обозначения а = —, получаем
к
i(t) = а
dq(t) dt
(10.9)
198 Гл. 10. Применение дифференциального исчисления..
Вывод: Для полного удовлетворения спроса и полной реализации своей продукции предприятие должно увеличивать инвестиции пропорционально скорости роста спроса (акселерации).
Коэффициент пропорциональности а = \ называют коэффи-
к
циентом акселерации или акселератором.
* * *
Пусть спрос на продукцию предприятия растет. Должны ли инвестиции также возрасти? Многие скажут: конечно, должны. И будут неправы. Ответ на этот вопрос не является однозначным, как иногда думают. Все зависит от того, каков знак второй производной от функции спроса — плюс или минус.
Если знак функции q" (t) — плюс, то q'(t) строго возрастает. Из (10.9) следует, что тогда должны возрастать и инвестиции i(t).
Если знак q"(t) — минус, то q'(t) строго убывает, а это означает, что инвестиции i(t) также должны убывать.
Если вторая производная q"(t) равна нулю на некотором промежутке, то q'(t) постоянна на этом промежутке. Следовательно, должны быть постоянными и капиталовложения в производство.
Вывод:
1. Если спрос на предметы потребления возрастает в каком-либо периоде все быстрее (qff(t) > 0), то должны возрастать и капиталовложения в их производство.
2. Если спрос на предметы потребления с какого-то момента начинает расти все медленнее (qff(t) < 0), то должны уменьшиться и размеры капиталовложений.
3. Если спрос на предметы потребления возрастает с постоянным темпом, достигнутым в момент времени to? то капиталовложения следует удерживать на уровне достигнутом в момент времени to (рис. 10.3).
Приведенное положение называют принципом акселератора.
10.5. Экономия ресурсов
Решение некоторых примеров, связанных с экономией ресурсов, нами уже было рассмотрено в предыдущей главе при изучении темы «Разыскание оптимальных значений». Рассмотрим еще один.
10.5. Экономия ресурсов
199
V Пример. Найти наименьшее количество жести, из которого можно изготовить цилиндрическую консервную банку вместимостью V = 2 л (запас на швы не учитывать).
Решение. Пусть поверхность банки S, радиус основания Я, высота Н. Требуется найти наименьшее значение площади поверхности цилиндра
S = 2тг RH + 2тг R2 (10.10)
при условии, что
тг R2H = V. (10.11)
