Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Эластичность спроса и логарифмическая производная. Понятие эластичности связано с ранее введенным понятием логарифмической производной. Выведем формулу, связывающую эти понятия.
' Ау Ах\ (Ау х^
Ех{у) = lim (-Дж->0 V
у
= lim .
Дж^о\Ах у
У
у
Представим отношение — как логарифмическую производ-
у
ную (Iny)'. Тогда получим
Ех(у) = х(Ыу)' = хТу.
(10.3)
Использование этой формулы позволяет вычислять эластичность функции быстрее, чем это делается по формуле (10.2). Так, найде-ная в примере 3 эластичность Ех(у) для функции у = 10 — х может быть вычислена с помощью формулы (10.3) в одну строчку:
Ех(у) = х (In у)' = х (1п(10 - х))' = -ж/(10 - х). Поскольку х = 1/(1пж)', то из формулы (10.3) имеем
Ех(у) = (\пуУ1{ЫхУ.
Таким образом, эластичность совпадает с отношением логарифмических производных.
Ценовая эластичность спроса и выручки. В экономической теории спрос (в натуральных единицах) принято обозначать не через у, а через а цену на товар не через ж, а через р (price). (Иногда спрос обозначают также через d (demand). Однако при
10.3. Эластичность
193
При эластичном спросе 1^(^)1 > 1, поэтому Ep(R) = = l — \Ep(q)\ < 0. При неэластичном спросе 1^(^)1 < 1, и
поэтому Ep(R) > 0.
Вывод: Если спрос эластичен, то изменение цены вызывает изменение общей выручки в противоположном направлении. Если же спрос неэластичен, то изменение общей выручки происходит в том же направлении, что и изменение цены.
Здесь не приведены конкретные графики и числовые значения эластичности спроса по цене отдельных товаров, поскольку числовое значение эластичности товара нельзя считать неизменным, раз и навсегда заданным. Эластичность спроса по цене зависит от многих факторов и ее нельзя рассматривать только как функцию от одной переменной р. Она зависит от замещаемости данного товара в потреблении, от удельного веса в доходе, от субъективной необходимости и т. п. Поэтому при прогнозировании последствий повышения налогов или цен, надо подходить к проблеме комплексно.
Поясним это на примере необходимости учета замещаемости данного товара.
По оценкам экономистов х) эластичность спроса на бензин в США в 80-е гг. XX в. составляла 0,2. Однако введение 6% налога на бензин в Вашингтоне привело к падению спроса не на 1,2%, как планировалось, а на 33% (что соответствует эластичности 5,5). Поэтому через 2 месяца налог в столице был отменен. Причина этого — «узкое» налогообложение на бензин, не включавшее в себя бензин из соседних штатов Мэриленд и Виргиния, которым потребители и стали заменять подорожавший в городе бензин.
Похожая ситуация произошла в 1993 г. в России, когда повышение ставок акцизов на отечественную водку до 90% привело не к ожидаемому увеличению поступлений в бюджет, а к существенному снижению спроса и сокращению доходов в бюджет. Причина — исключение из рассмотрения импортной водки (в том числе из стран ближнего зарубежья). Именно продажа импортной водки заняла в это время преимущественное место в торговой сети. Поэтому спустя несколько месяцев вышло новое постановление, которым вводилась ставка акцизов до 250% на импортную водку, а ставка акцизов на отечественную водку снижалась до 85%.
ЧСм. [15, с. 81].
7 Я. М. Ахтямов
194 Гл. 10. Применение дифференциального исчисления..
У
У
А
А х
О
О
ЕХ(У) > О Ех(у) < О
Рис. 10.1. Геометрический смысл эластичности
Геометрический смысл эластичности. В экономической теории часто рассматривают зависимость между переменными графически. Поэтому полезна геометрическая интерпретация понятия эластичности.
Напомним, геометрический смысл производной: f'(x) — это тангенс угла наклона касательной к графику функции у = f(x) в точке С(жс, ус), ус = f(%c)- Геометрический смысл эластичности функции f(x) в точке хс связан с разбиением данной касательной на отрезки точками Л, В и (7, где А(ха, 0) — точка пересечения касательной с осью Ох, 5(0, уь) — точка пересечения касательной с осью Оу (рис. 10.1).
Если эластичность Ех(у) положительна, то она совпадает с отношением длин отрезков ВС и АС :
Если же эластичность Ех(у) отрицательна (рис. 10.1), то выполняется следующее соотношение:
С помощью векторов формулы (10.4), (10.5) можно записать в виде одной формулы
? Доказательство равенства (10.6).
Выразим координаты точек А и В через координаты точки С. Уравнение касательной в точке С(жс, ус) имеет вид
(10.4)
ех(у) = --7Т7-
(10.5)
ВС = Ех{у)АС.
(10.6)
У = Ус + f'(xc) (х - хс).
(10.7)
10.3. Эластичность
195
Подставив в уравнение (10.7) координаты точки 5(0, уь), получим
Уь = Ус~ f'{xc)xc.
Подставив в уравнение (10.7) координаты точки А(ха, 0), получим равенство
0 = ус + f'{xc) (ха - хс),
откуда
Уо
X п, — Хп
П*сУ
наты
ка В — координаты (0, ус — f'(xc) хс).
Итак, точка А имеет координаты ( хс — ^ ^, 0), а точ-
Сравним, теперь, векторы ВС и Ех(у) АС:
ВС = (хс - 0, ус - уь) = (жс, f'(xc) хс),
f(xc)xc ( ус
Ех(у)АС=^^ (Хс-Хс + -^-^Ус-0) =
— (%с-> f {хс)хс)-
Таким образом,
ВС = Ех(у)АС. I Из формулы (10.6) следует равенство
\ВС\ = \Ех(у)\\АС\,
откуда
