О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
І-1
где
Р,->0 (/-1, 2,..., т)
и
(6i) 0 <*!<*,<...<*„,<«;
системы Jf11 tit..., tm, отвечающие двум различным из указанных представлений, перемежаются.
28 Доказательство
Как мы знаем, существует бесчисленное множество значений Cn = C2m-I, при которых последовательность
Cq, C1,..., Cim- 2, C2m-I
позитивна и каждой такой последовательности отвечает некоторое каноническое представление (5), (5Х), а значит, и представление (6), (бх).
Перемежаемость следует из соображений аналогичных тем, которые проведены при доказательстве теорем 3 и 10. Пусть
т
(6') cft = ?P; cos (? = 0,1,...,2 т — 2)
і і
одно из представлений типа (6),(6!). Определим многочлен Ф (х) степени 2т — 2 равенством
т
Ф (X) = .-~--JT-- П (* - C°S
У ('-cosW-cosM 1
В силу (6'):
_^ т
® {ф (-iiIi-)) = ф(cos */) = 0• Следовательно, для всякого представления (6), (63)
-і т
(7) <? {Ф (^f-)) = (costj) =0.
Так как
Ф (cos t) < 0,
если t'k < t < ^1, и
Ф(созг?)>0,
если ? лежит вне <t'k, t'kvl> и 04^11, то из (7) следует, что по крайней мере одно tj попадает внутрь интервала (t'k, , если система I1 < t2 <... < tm не совпадает с системой t[ < < ^2 <•••<?„, откуда и следует теорема.
2. Заменим теперь требование, что последовательность (1) позитивна, требованием ненегативности.
Теорема 16
Если вещественная ненегативная последовательность
C0 >0, C1,..., сп—і
29 имеет ранг р < я, то существует одно и только одно каноническое представление
(8)
где
и
Ck
Pі COS ktj
j 1
(A-0, 1,. --, n- 1), (/ = 1, 2,...,m)
Pf >0
0 < tx < f, < ... < tm < тс.
При этом, если положить
? _ I 2 ПРИ 0 < ^ < її
' ) 1 при tj =s 0 или тс,
то
sl + s2+ • • • + ^m = P-
Действительно, на основании теоремы 12 существует одно* и только одно каноническое представление
cfceSP/** (A = 0, 1,2,..., л —1),
(8')
/=і
где р/>0, I 1 = 1 (/'= 1,..р) и aj — все различны. Отсюда, так как с0, C1,..., вещественны, система чисел (/= 1, %..., р)
совпадает с системой чисел р,•*/(/== 1, 2, ---,р). Объединяя сопряженные члены в (8'), мы и придем к представлению (8). Так как
т о
(-Dp"
aP- 2
Лр = к>~По=°>
C1 C2... Cp^lO Со C1. . . Cp—5 Cp-I
Cp—%Ср—3. . . Cq C1
+
P-1 Ар—2
В зависимости от того, имеет ли здесь место знак — или + и-/»—четно или нечетно, в представлении (8) будет иметь место в согласии с теоремами 13, 14 один из четырех возможных случаев:
1. tt >0, tm < п; 2т = р;
2. tt = 0, іт—щ 2т —2 =jp;
3. tx > 0, tm = и; 2т — 1 =р;
4. Zf1 = O, ^m < я; 2т — 1=/?. § 4
1. В настоящем параграфе мы покажем, как вещественная позитивная (ненегативная) последовательность
(1) ^Oi cU1 ••> Cn-U Cn
на окружности может быть преобразована в последовательность
(2) s0, S1,.. ., sn—i, Sn
позитивную (ненегативную) в конечном интервале, за каковой, не нарушая общности, мы примем < — 1, 1 >.
Таким путем мы получим ряд предложений относительно позитивних (ненегативних) последовательностей в интервале.
Впрочем, все эти предложения можно получить и непосредственно методами, изложенными в § 1.
Отметим попутно, что, как показал Е. Fischer [25], теоремы относительно последовательностей позитивных (ненегативных/ в интервале (— оо, оо) можно получить, исходя из теорем о позитивных (ненегативных) последовательностях на окружности.
Условимся называть рангом ненегативной в Интервале < — 1, 1> последовательности (2) наибольшее число р (р < я+1),, удовлетворяющее тому условию, что последовательность
So, S1,. . ., Sp—і
позитивна в интервале < — 1, 1 >. Теорема 17
Вещественная последовательность
(1) C0, C1,..., сп,
ненегативна на окружности и имеет ранг р(р*С <;«+1) тогда и только тогда, когда последовательность
(2) s0, s1,..., sn, где
і k k
(3) sk = -5 ^ ( ) ck-ir (? = 0,1.....n;f_,-c»),
i T= 0 4
ненегативна в интервале <-—1, 1 > и имеет ранг р. Доказательство
Равенства (3) можно записать следующим образом (3') sft= + (A=OjIj..., я).
31 Следовательно, для любого полинома G (и) = ? Ak uk :
k- о
(3") <3{G(«)} = <?{o
С другой стороны, если
(4) G (и) > О
Z + 2~
при
то
G( s+2s 1 ) = G (cos t) > О
1 и < 1,
(z = en).
Поэтому, если последовательность (1) позитивна (ненегативна) на окружности, то в силу (3") неравенство (4) влечет неравенство
@{G}>0 (соответственно 6 {G} > 0),
т. е. последовательность (2) позитивна (ненегативна) в интервале < — 1, 1 >.
Пусть теперь, наоборот, задано, что последовательность (2) позитивна (ненегативна; в интервале < — 1, 1 >. Для доказательства того, что последовательность (1) позитивна (ненегативна) нужно показать, что теплицева форма
п
Vfx-U=X I1.
положительна (неотрицательна). Но так как Ck — вещественные числа, то вместо этой формы достаточно рассмотреть форму
і ч ^ = Є {(?+Si* + • ¦ • + ZnZn ) (S0+S1Z-1 + • • . + S„2T-»)}
с вещественными Sft.
С другой стороны, так как (z = ea)
(5) Tn(Z) = (So + M+ • • • + S„s") (=о + + • • • + ZnZ-) =
