О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
®{б} = Є{г}.
С другой стороны
g{r} = y; Pkr(«k) = j^PkG(ak),
A=I ft= З
ибо
/-(B4) = G(Ctft) (ft= I1 2,..., P).
Таким образом, для любого полинома G (г) степени < я — 1 имеет место „квадратурная формула"
(12) ®{G} = SPftG(**).
a
Отсюда
Теорема 12
Если ненегативная последовательность с0,с1У...т сп-! имеет ранг р < п, то существует одно и только одно каноническое представление
(13) Cft = SР,а* [ft = 0, ±1,..., ±(я —1)],
/ і
в котором р,-> О, I а;-1 = 1 и все а; различны. В этом представлении <7 = р = рангу теп|лицевой формы
(14) Vc-,;,!.
о
Доказательство
Действительно, полагая в (12) G(Z) = Zk и переходя к комплексно сопряженным величинам, мы получим представление (13), в котором q =р. С другой стороны, если нам дано какое-либо каноническое представление (13), то с помощью него можно разложить форму (14) на квадраты, а именно:
S a, = S Pі I So+ ^A+ - ¦. +^-!«Г1!2-
О /_ 1
Из этого разложения следует, что q <п, ибо в противном случае эта форма была бы положительной, а следовательно, последовательность с0, C1,..., сп—і была бы позитивной.
Но если q <п, то q равно рангу формы (14), и следовательно, однозначно определяется; откуда q=p.
С другой стороны, если q = р, то 2р чисел р/ и а,- (/'= 1, 2,...,р) согласно теореме 9 однозначно определяется равенствами:
Ca-S (ft = 0, 1,...,/>).
/=і
25
§ З
1. Остановимся специально на том случае, когда последовательность
(1)
C0> О, C1, C2,..., Cn-1 (ck =cft; k = 0, 1,. ті — 1)
вещественна.
Предположим сперва, что последовательность (1) позитивна. Согласно формуле (4,) § 2 центр круга Cn лежит на действительной оси и, следовательно, согласно (4)),(42) §2 окружность Cn пересекает эту ось в двух точках
Cn-I О
(2)
(-D'
'1,2= Д
га—2
C2. . . C1 • • •
Ca—lCn— 1
+
С—Я+гС—п+З. •• Cq C1
Таким образом, если последовательность (1) позитивна, то для того, чтобы удлиненная последовательность с0, съ..., сп с вещественным сп была ненегативной, необходимо и достаточно, чтобы число сп находилось между границами Ci<C2, которые рационально выражаются через с0, c,,...,c„_i по формуле (2).
Рассмотрим теперь каноническое представление
(?=*0, 1,..., л),
(з) cfc = 2P/«f.
J=I
отвечающее по теореме 9 какому-либо вещественному значению сп, лежащему на окружности Cn.
Переходя в представлении (3) к комплексно сопряженным величинам, мы в силу вещественности ck (k — 0, 1,. .., п) получим
п _
°k = S Pi а ¦ у=1
Так как по теореме 9 существует только одно каноническое представление (3\ то система чисел р;-а* (у = 1,..., п) совпадает
C системой чисел PjOLj (у — 1,..., п).
Отсюда вытекает, .что при четном п либо все числа <*/ отличны от — 1 и + 1, либо — 1 и + 1 одновременно принадлежат системе а,, «г, • • • > ctIiJ наоборот, при нечетном п одно из чисел ±1 обязательно принадлежит системе а„ а2,...,ап.
Покажем, что каждая возможность осуществляется при том или ином выборе сп из двух значений C1, C2-
Действительно, если сп выбрано, то числа аъ...,ап в представлении (3) определяются, как корни полинома
CoC1 •. -Cn CiCfy. . .Cn—і
Wn (z) = const Un (Z) =
= W0-IrWlZ+ ...+WnZ",
26
1 S...Z' причем в силу симметричности полинома Un(z):
v ' Wn wn_t ' • • W0 —
С другой стороны, если в (2) заменить С і, 2 на сп, то после небольших преобразований можно будет привести равенство (2) к виду
W0-Wn = O
при Cn = C1 и к виду
®'о+®П = 0
при сп=Сг.
Отсюда, принимая во внимание (4), находим: если п = 2т, то Wn(-1)=*0, UZn(I)^O при Cn = C1
Wn(-\) =Wn(I) = O при cn = C2; если п=2т — 1, то
Wrn(-1) = 0, Wn(I)^O при Cn = C1
WrFtC- 1)=/=0, IFn(I) = O при Cn = C2. Замечая с другой стороны, что в представлении (3)
Pj%k/ + р,«,* = 2с, cos Mi («/ = *">)>
мы приходим к теоремам. Теорема 13
Если вещественная последовательность
со> cIf •• > Сгт—1
позитивна, то существует каноническое представление
т
(5) ck = s^piCoskti (& = 0, . ., 2т — 1),
где
P1-> 0 (у = 1,2,..., т)
и
(5j) 0 <tl<t2<...<tm<n,
а также каноническое представление
т
Ck = %p".cosktj (А = О, 1,. ..,2т— 1),
о
где
р'>0 (/ = 0, \,...,т)
0 = t0<t[<...<tm=
27 при этом
f0 < t, < ^ <... < tm< tm.
Теорема 14
Если вещественная последовательность
Cq, C1, ¦ . • ,
позитивна, то существует каноническое представление
т
Ck - SpzcosktI = 0,1,..., 2т — 2),
і і
где
Р/>0 (/ = 1, 2,..., т)
и
О <L < t2 <. .. < tm = It, а также каноническое представление
т
c^=S P/'cos (6 = 0, 1,..., 2/и — 2),
/«і
где
р;>0 (/=1, 2,...,/га)
и
Q = t[<t'2< ... <^<т:;
при этом
< < ^ < 4< • • • < с < с
Перемежаемость чисел Z1j-, Z^. в обоих теоремах следует из общей теоремы 10.
Последнюю теорему можно дополнить следующим образом:
Теорема 15
Если вещественная последовательность
позитивна, то существует бесчисленное множество канонических представлений
т
(6) Ck = ^p1COSkti (& = 0,1,...,2/га — 2),
