О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
Sn(Z) = Izcw
Значит система чисел Oi1, а2,...,ап определяется однозначно и, следовательно, Sn (z) = const Un(z); впрочем легко видеть непосредственно, что on(z)= Wn (z).
Коль скоро числа а„ а2,..., ап определены, числа ри ря,..., рп определяются однозначно из уравнений (8).
Для доказательства второй части теоремы заметим, что из (8) и (8') следует также, что
? ^ sx I, = І р/ Is0 + &,«/+...+?„ a; I2.
О J^l
Написанная форма является выродившейся и поэтому
"х-1».!
Тёорема доказана, таким образом, полностью.
Теорема 10
Если
(8) с*= (ft = 0, !,...,«-!)
У=1
и
(8j1 с* = І»? (ft = 0, 1,..., и — 1)
/=1
21 два различных канонических представления, о которых шла речь в предыдущей теореме, то точ-к и а2,..., а„ и аь а2,..., (? п е р е м е ж а ю т с я на единичной окружности.
Доказательство
Пусть
Ok^eitk, a'k = eilk (?« 1,2,..., ft, где
0 < < < ... < tn < 2«, о < ^ <*;<...<*;< 2я.
Мы должны показать, что внутри любого из интервалов (tu, 4 fi) (k = 1,2, ..., rt; = + 2и) лежит по крайней мере одна из точек t) (у = 1, 2,..., я +1; = ^ + 2тс).
Покажем это, например, для интервала (tx, t,). Введем для этого в рассмотрение квазиполином
п
Ф{г) = const (2-^.) (г - П (z-eitk)\
z ft- 3
который иначе можно определить равенством
п ^_^
Ф (Ba) = sin sin П Sin2 —2~к-.
ft= з
Очевидно,
Ф(<?'7) >0 при t2<t<tt + 2«,
(10)
Ф(е") <0 при tl<t<ti.
Так как Ф(ай) = 0 при fe — 1, 2, ... , п, то из (8) следует, что
®{ф} = ?рйФ(од = о,
откуда в силу (8J
6{Ф}= S р;ФК) = О. ft=]
Так как системы чисел (X1, а2,...,а„ и aj, а^,..., а^ различны, то не все Ф(а^) равны нулю, а следовательно, среди чисел Ф(ай) (& = 1, 2 ,...,п) имеются числа разных знаков. В силу (10) это означает, что в каждый из интервалов (tu t2) и (4, ^ + попадают точки t'h(k = 1, 2,...,»+ 1). Теорема доказана.
22 Теорема 11
Если точка сп непрерывно передвигается по часовой стрелке по окружности Cn, то в каноническом представлении (8),(8'), отвечающем рассматри-ваемой точке с„, точки а5, аа,...,ап непрерывно передвигаются по часовой стрелке по окружности I z I = 1. Когда точка Cn заканчивает полный обход Cn, то точки Ct1, а2,..., ап циклически переходят друг в друга.
Доказательство
Так как точки аьа2,...,ап суть корни полинома Wn(г), в коэфициенты которого линейно входит сп, то аА = aft (сп) (k — — 1,2,..., и) суть аналитические функции от сп. С другой стороны, так как двум разным значениям сп отвечают перемежающиеся системы чисел Ot1, а2,„.., ап, а следовательно, не имеющие общих элементов, то каждая точка ak движется в одну и ту же сторону, если сп движется в одну и ту же сторону. При этом, когда сп сделает полный обход, то точки а„ аг,..., а„ перейдут друг в друга, и, очевидно, единственно возможный порядок перехода есть циклический.
Остается показать, что движению сп по часовой стрелке соответствует движение точек a,, а2>---> ап по часовой стрелке.
Для этого заметим, что если точка сп соскользнет с окружности Cn вовнутрь нее, то согласно теореме 7, точки ак соскользнут с границы единичного круга в его внутренность. Так как изображение осуществляемое функцией ак(сп) конформно, то отсюда следует соответствие направлений движения1.
3. Рассмотрим теперь случай, когда последовательность (3) ненегативна и имеет ранг p<ti. В этом случае последовательность с0, Ci,---, cp-i позитивна и
C0 C1... Cp
Ap = Cp-1 -0
С—рС—р ]. ..C0
Следовательно, по теореме 9 последовательность с0, C1,..., ср
допускает каноническое представление
р
^ = Spza/' (? = 0,+1±р), і 1
1 Эту теорему можно было бы доказать чисто алгебраическими методами, но доказательство было бы несколько длиннее.
23 где все pj (у = 1,..., р) положительны, а а15 аа>..«„ суть корни полинома
= U0 + U^ + . . . +UpZp (Ио| = |ар|:^:0)
C1..
Up (Z) = Const C- -IC0- ¦ Cp-1
1 Z . .ZP
(числа а,- различны между собой и по модулю равны единице). В силу условий ортогональности
(11)
будем иметь (H1)
Q {Up (z)z-"} = 0
(k=0, 1,.../?)
Up (z) Ur
UJ ^) =
/Г
Рассмотрим квазиполиномы Фk(z) = (A+Bzk)(A + f^Up(z)Vp(±) (k = \, 2,..., п-р~ 1),
каждому из них отвечает неотрицательный тригонометрический полином Фь(еи); следовательно,
?{Ф*}>0 (k = \, 2,..., п-р — 1).
С другой стороны, принимая во внимание (Ili), получим
0 < 6 {Ф*} = AB& {z* Up (z) Up (4)} + AB Є { z-Wp (z) Up ^)}.
В виду полной произвольности констант А и В из этого неравенства следует, что
(U2) = 0 [k=±\, ±2,..., ±(п — р-\)\
Так как
1
Ua
то соотношение (Il2) можно записать еще так:
«о © {Up (z) z*}'+ M1G [Up (Z) г*-»} + ...+ UpiSiUp (z) z»~p} = 0.
Полагая здесь последовательно k = \, 2,..., п—р—1 и пользуясь (11), получим:
(11')
Пусть теперь Q(z) = Ай+AiZ+.. ,+An-iZ"-1 любой полином степени п—1; представим его в виде
&\Up(z)z*} = 0 (k = 0, 1, 2,..., n-p-l).
z) = Л0+AiZ+ ... -f Ап-х»
:тавим его в виде Q(z) = Up(z)q (Z) +г (Z),
24 где r(z)— некоторый полином степени <р— 1. В силу (11'):
