О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
В зависимости от того, лежит ли точка сп на гра-н'ице круга Cn, внутри его или вне его, все корни полинома
(5)
Wn(Z) =
с0 C1 ...
cO
л—1
С-П-; 1 С—П\-Ъ •¦¦ С1
1 г ... г'
лежатнагранице, внутрииливнеединичногокруга. Доказательство
Полагая _
заметим, что Wn(z) характеризуется следующим свойством ортогональности:
(5Х) <Z{Wn(z)z~*} = 0 (A = 0,l,...,/i-l)
Так как
Wn(z) = Zn+...,
то
(52) б { Wn (z) Wn; i-)} = 6 { Wn\(z)Wn (^)} =
= А„_! Є {Wn (z) z-"l = ДAn(сп). Пусть теперь я — некоторый корень полинома Wn(z); тогда Wn (Z) = (z -a) G (z), где G (z) — полином степени п—1, так что
О = ?IW11 (z)Ti 4-)}e®{ (z-<l)G(z)G(±)}=B-*A,
Ахиезер и Крейн—65—2 17 где
? = Є JzG (z) G (4-)}, 4 = ®{G(z)G(jJ)}>0,
так как последовательность (3) позитивна. Таким образом
В
Замечая, что
B-*{±G(z)0( -L)}
и принимая во внимание (52), найдем, что
Дп (Cn) = б { - a) (JL - а ) G (z) G (-1)} =
= Л (1 + ja Iа) — — a?= Л (1 —
Следовательно, Д„(сп) и 1—|а|2 одновременно > 0, < 0 или = 0, что и требовалось доказать.
Заметим, что в силу теоремы 6 последовательность с0, C1,.. ., сп позитивна, если сп выбрано внутри Cn, и ненегативна (ранга га), если сп лежит на границе Cn.
В последнем случае можно указать более полный результат чем тот, который дается теоремой 7.
Теорема 8.
Если последовательность C0tC1,..-.,Cn^1 позитивна, а сп лежит на границе Cn, т. е.
(6) Дл = Дп (сп) = I о.—[л. |о = О,
то все корни полинома Wn(z), определенного в (5), различны и по модулю равны единице.
Дадим доказательство независимое от теоремы 7. В силу (6) существует ненулевая система комплексных чисел и0, н,,.. .,ип, для которой
п
(6i) ScWwx=0 (;i = 0, 1,. . .,/I).
X=O
Заменяя в этой системе равенств Хна/г — X, а ^ на /г — р. и переходя к комплексно сопряженным величинам, получим также, что
п _
S fW Un-X==O. ([1 = 0,1,...,/1).
X=O
Отсюда в силу A„_a > 0:
11 її .
(M = I).
'л-1 _ _ »! _ Ы0 _
uI Un-I Ив
18 Так как система чисел ив, Ui____,Un определяется с точностью до мультипликативной постоянной, то ее можно выбрать так, чтобы s=l.
В этом случае полином Un(z) = U0 + UiZ+ ... UllZn, очевидно, равный const Wn (z), является симметрическим полиномом, т. е.
Z-Un(^) = LJn(Z).
В силу (5,), (52) и (б) или просто в силу (6^ (7) Є {?/n(z)2-*} = О (Л-= 0, 1,2,..., и).
Обозначим через еи\ е"%..., є11"1 все различные корни нечетной кратности полинома Un(z), лежащие на единичной окружности. Положим
G(Z) = e .Є (2 — Є-"1)... (2— е~"т),
если т> 1, и 0(2)==1, если т — 0. Легко видеть, что полином G(z) симметричен.
Не лежащие на окружности |г|=1 корни полинома Un (z), если они существуют (а мы на теорему 7 не опираемся), обязательно попарно симметричны относительно окружности 121 = 1.
Поэтому п — т=21 есть четное число и Un(Z) можно представить в виде
Un(z) = zG (z)K(z)K(±r) Z1,
где K(z) полином степени I.
Отсюда видно, что квазиполином
H(z) = ^o(j)un(z)
обращается при z = elt в вещественный тригономический полином порядка m + / = ra— I, неотрицательный во всем интервале Так как последовательность (3) позитивна, то при / = O мы получили бы, что
<?{#(2)}>0,
но в силу (7) это абсурдно, и значит I = 0, т. е. т = п, и теорема доказана.
Теорема 9
Если C0>0, с,,..., c„_i есть позитивная последовательность, то каждому комплексному числу сп, лежащему на окружности Cn, уравнение которой
с0 C1... сп—х С
С_1 Ce. . .С„_2 Cn-I
С с . •. c_i с0
19 отвечает одно и только одно каноническое представление
п
(8) с»= ?Р'а/ (6 = 0,1,...,и— Ij,
/ і
в котором р/>0, I ot/1 — 1 (_/= 1, 2,..., п) и все а/ различны, и такое, что
(8') = Sp /яЛ
/ і
Обратно, всякому представлению (8) указанного типа отвечает по ф о р м у л е (8') н е к о т о р о е сп, лежащее на окружности Cn.
Доказательство
По формуле Lagrange'a произвольный полином G(z) степени < и можно представить в следующем виде:
п
G (Z) = G (ak) hk(z) + const Un (z), ft і
где aft (k = \, 2,..., n) — все (различные) корни CJn(Z), а
Hk(Z)= и>Лг) ¦
* ' («—ft) ^ll (Oft)
А так как Є {?/„} = О, то
(9) ®{G}= ipfcO(aft),
k -і
где
Полагая в формуле (9) G(z) — zl (1 = 0, 1 ,...,п), мы получим представление (8), (8').
Остается показать, что Pft > о (k = \, 2,. .., и).
Замечая, что hk(aft) = 1, (aft| = l, находим, что hJ—~)= 1,исле-
довательно
где gk(z) — полином степени ti. Но тогда
* (4-) - A* (Z) - Un (Z) gk (4).
20 Беря от обоих частей этого равенства функционал получим, в силу условий ортогональности, что
Pk = Є {hk (z)} = <5 {hk (z) Ik (і-)} > О, ибо _
hk(e") К (e-lt) = \hh(eil) f
есть неотрицательный тригонометрический полином порядка га — 1.
Единственность представления (8), (8') может быть доказана следующим образом. Из (8) и (8') следует, что
п—1
S (c^-V- 1 — ZCx-H.) Sx S1X =
= S (?-Z)P/|S0-Hiaj+...+ w;-1 р. І 1
Написанная форма вырождается при Z = а, (/ = 1,2,...,«), поэтому числа oi1, а2,...,яп суть корни детерминанта
