О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
находим, что N1 = Ni = 0; поэтому, полагая к = і — 1, получи м что Ni = N^ = 0; продолжая это рассуждение, найдем, что
N0 = N1= ... = N2m~2P-4 = 0.
Беря, наконец, к'= tri— р — 2, получим в силу первого из написанных неравенств, что
-Viim- 20-3 = о, .Y2m-5/,-2 > о.
Таким образом, наше утверждение доказано. Теорема 5 (Е. Fischer [25}).
Если последовательность S0 > О, S1, ..., Sim^2 ненегативна в интервале (— оэ.оо) и если Dp-1 есть последний отличный от нуля элемент в ряду
D0, D1,..., Dm--L,
т о существует единственное представление
Sfc-S?/'/ (?=0,1,2,...,2^-3)
\') /=I
(=4
где
Si<5a< ... Pt > о (і« 1,2,...,0) и Af >0.
Если р = т — 1, то M=
Мл-2
Доказательство
Пусть
О (и) = Ли2«-2 + Buim'3+ ...
13 произвольный полином степени <2т — 2. Приведем его к виду
G(u) = Рр» — {Au2m~2P-- + B1Uim-iP-5 +...} + H (и), где Я (м) - по-Dp-l
лином степени С 2/7 — 1. В силу (6,) будем иметь 6 {О (и)} = AM+ (S {#(«)},
где
M = - ! © [P2p (и) иш-*р-2} = > 0.
Dp-1 Dp-1
Замечая, что //(Sf) = O(S1), где Sj, ?2,...,Sp — корни ортогонального полинома Рр(и), и разворачивая <?[Н(и)} по квадра турной формуле, получим, что
®{G} = MA+ ^piO fr).
г- і
Полагая здесь G (м) = и* (? = О, 1,..., 2т — 2), придем к представлению (7).
с 1 ЛЯ NC dP ¦ Dm-1 ,с ¦
Если р — т — 1, то Ж = —— = —— =-, в силу (62).
Dp—1 Dp-I ^m-2 Единственность представления (7) следует из того, что согласно теореме 3 единственно представление
St=V Pic* = 1,2,...,>-1).
/ і
§ 2
1. В этом параграфе мы будем рассматривать комплексные последовательности
(1) C0 ----- О, сь сг,..., сп
позитивные (соответственно ненегативные) на всей окружности О ^t 2т.. Для краткости будем часто называть такие последовательности просто позитивными (соответственно ненегативными), опуская упоминание окружности.
По теореме Fejer'a — F. Riesz'a [c5j всякий вещественный тригонометрический полином
Tn (еи)= S A-Jkt {A_=Ab),
k— —п
не принимающий отрицательных значений, может быть представлен в виде1
Гп(е") = \% Jki r=i&V^rt',
а.-о о
1 Укажем доказательство приведенной теоремы Fejer'a—F- Riesz'a. Квазиполином
п
Tn(Z)= S Акг*
S 7
k——n
14 где Zk _ некоторые комплексные числа. Но тогда
о
Отсюда получается Теорема 6
Последовательность (1) тогда и только тогда позитивна (соответственно ненегативна), когда форма Toeplitz'a
(2)
о
положительна (соответственно неотрицательна).
Если последовательность (1) ненегативна и не все ее элементы равны нулю (а мы только такие последовательности и будем впредь рассматривать), то C0 > 0. Действительно, из неотрицательности формы (2) следует, что
О,
с-ь C0
О или C0 > I Ch I (k = 0,1,..., /г).
симметричен, Т. е.
Поэтому, если I есть корень Tn (г), то будет корнем также -=L ; отсюда
следует, что ц
k л
Tn (*) = - m П <* -*>) (г- ^l) П <*-:„).
¦ 2 А 1
где і Zi I < 1, ! :,J = 1, 2k +1= 2т, т n (т < п, если An = 0) или в другой записи:
у«W= (-L-7*)} {?П<*-д .
Л 1 1 Ii--I
где 5 = т — k.
Первый множитель имеет при z = еи неотрицательные значения; следовательно, тем же свойством должен обладать и второй множитель, откуда не трудно заключить, что он не может иметь корней нечетной кратности, н значит можно положить
2s S
Полагая
!1=1 |i=l
г**-"1 П (* -*Л) П (* - g = s (і г і2=с), >. і ii=i »
найдем, что
1
К* ^bj*'
V-U ft—0 г
что и требовалось доказать.
15 Если ненегативная последовательность C0 > О, C1,..., сп не позитивна, то существует такое целое число р (1 < р < п), что урезанная последовательность с0, си...,ср—і позитивна, в то время как последовательность c0,cv...,cp уже не обладает этим свойством. Назовем рангом ненегатнвной последовательности с0, C1,..., сп число р, если эта последовательность не позитивна, и число п-Jl, если она позитивна.
Впоследствии мы докажем, что ранг ненегативной последовательности (1) совпадает с рангом теплицевой формы (2). Пока что на основании теоремы 6 мы можем утверждать, что для того, чтобы последовательность (1) имела ранг р, необходимо и достаточно, чтобы
с0 C1 .. • ^
д*= •Ck-l > • • >0 (k = 0, 1,..., п),
если P = Il-sC 1, И чтобы
Д0 > О, A1 > 0,...", A^1 >0, Ap = о,
если P < и + 1.
2. Пусть последовательность (3) с0> 0, Cv сг,..., с„-1.
позитивна.
Рассмотрим в комплексной плоскости С область Cn, определяемую неравенством
С0 cI
(4) An (Q = C-! C0 ^ С-п+1 • • СП—2 Сп~1 Со >0.
Покажем, что Cn является кругом с центром
C1C2... сп_ 0
Со (-1Г1 А л—2 C0C1... сп_ С-п Ь2 С-п\ 3 -2 Сп-1 ...C0C1
и радиусом
(42) А п~\ Г = -T--. А„_2
1б Действительно, на основании известной теоремы о минорах взаимного определителя
C1Ct... Cn^1 с
b. А (С) = A2 п — "л— 2 л W л—1 cO cI •• • Сп~2
С_ п ; 2 С— п I 3 • • • C0 С
C0 ... сп_2 с-г с-1 • • • cn-s
С С-п :і • • . С-л
Так как Лл-г > 0 и A^1 > 0, то неравенство (4) эквивалентно неравенству ^
Теорема 7
