О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
k -1
где числа [>k{k — 1, 2,..., т) определяются с помощью формулы Полагая в формуле (3)
Г___Iа,
найдем, что
Р* = ©(?Ци)}>0 (k = 1, 2,..., т),
ибо последовательность (2) позитивна.
В частности, полагая G(u) = uk (k = О, 1, . . . , 2т — 2), мы получаем первую часть следующего предложения:
Теорема 3
a) Если последовательность s0, S1,..., sam_2 позитивна в интервале (—оо, оо), то существует бесчисленное множество „канонических" представлений
т ь
{A) Sk=^i (? = 0, 1, 2,...,2т-2),
i=i
где
Pj > О (j=l, 2,..., т), — оо< Z1 < S2 <... < < ОО.
b) Системы чисел S1, I2,..., Im в двух различных представлениях (4) перемежаются.
c) Среди представлений (4) существует одно и только одно представление, в котором система чисел I2, ... , Sm содержит произвольно заданную точку Yj, не совпадающую с корнем полинома Pm-1 (й).
d) Каково бы ни было вещественное число S2m-ь среди представлений (4) найдется одно и только одно такое, что
14') s =V p. i2m_1.
' °2(Л- 1 -_> І І 'і
V П Ї2/Л-1 ZjI-
і-і
Доказательство
Утверждение а) доказано. Докажем утверждение Ь).
ю Пусть
т
/5) S*-SP;=;* (A= О, 1,..., 2/я —2)
і 1
одно из представлений (4). Построим полином
ow"l^иЬ©- ПС-^
Тогда из (5) и (3) вытекает, что
т
s{G} = SP;.GQ = c,
г =1
а следовательно, для любого представления (4):
т
(5i) ' ©{G} = SP'G(:-) = 0
іі <
Так как
G(u)>0 при и < ^ и
G(«)<о при е;<и<5;.1,
то из (5,) следует, что между двумя последовательными точками Sft м представления (5) лежит всегда, по крайней мере» одна точка всякого иного представления, откуда и вытекает утверждение Ь).
Если Qm(U) — некоторый вещественный квази-ортогональный полином степени т, то при Pm-i (tj) ф 0 полином
Qm (и; Ч) = Qm (") Pm-1 (lj) — Pm-1 («) Qm (і)
также обладает этими свойствами и притом имеет корень *). Следовательно, полиному Qm (и,-ц) отвечает некоторое представление (4), в котором одно из чисел 5/(/=1, 2,..., tri) равно т). Единственность этого представления следует из Ь). Утверждение с), таким образом, доказано.
Остается доказать утверждение d). Если мы присоединим к последовательности (2) произвольное вещественно.е число s?.m-l, то функционал 6 получит смысл на множестве всех полиномов степени <;2m — 1. Беря тогда в квадратурной формуле в качестве полинома Qm (и) ортогональный полином Pm (и), мы найдем, что соответствующая квадратурная формула (3j будет иметь место для полиномов степени 2т—1. Полагая в ней G (и) = ик (k = 0, 1,..., 2 т—1), получим требуемое представление (4), (4').
Обратно, пусть имеет место представление (4), (4'). Тогда квадратурная формула (3) будет справедлива для полиномов
11 G (и) степени < 2т— 1. Полагая в ней
т
G(U) = и' R(u), где R(u) = П (и —У = 0, 1, • ••> 1),
k^i
получим, что R (и) есть ортогональный полином степени т, т. е. R(u) = аРт(и). Таким образом, числа S1, S2.-*-. ^m опреде-деляются однозначно из (4) и (4'); коль скоро они определены, числа р/(/= 1, 2,..., т) определяются по формуле (За) после замены в ней Qot(«) на Рт(и). Представляет интерес
Теорема 4
Корни двух любых вещественных линейно независимых квазиортогональных полиномов одного и того же ранга перемежаются.
Доказательство
В силу утверждения Ь) теоремы 3 корни двух любых линейно независимых вещественных квазиортогональных полиномов Qm(U) и Q*m(u) степени и ранга га перемежаются. Остается показать, что корни Рт—і(и) перемежаются с корнями любого вещественного квазиортогонального полинома Qm(«) степени и ранга т. Представим Pm-t(u) в виде Pm-i(u) = a Qm(и) + ¦f ? Q'm (и) (р=?0); тогда в корнях S1 < S2 < ... < Im полинома Qn(U) будет Pm-! (S1) = PQ; (Si)- Так как числа Q^Ei)/ Q^(S1+i) (i = 1, 2,..., га—1) разных знаков, то и числа Pm_-i(S,), Рт-х(1і і) (і = 1, 2,..., tn— 1) разных знаков, следовательно, между I; И Sj^-I (t = 1, 2,..., га—-1) лежит один и только один корень полинома Рт-\ (и), что и требовалось доказать. 4. Отбросим теперь предположение, что
(2) S0 > 0, Si,..., Szm-2
есть позитивная в интервале (—оо, со) последовательность и предположим, что эта последовательность ненегативна.
Пусть Dp-I есть последний отличный от нуля элемент в ряду
D0, D1, D1,..., Dm—z,
т. е. пусть1
D0 > О, D1 >0,..., Dp^1X), = = Dm- г = 0. '
По теореме 3 имеет место представление
(* = 0,1,..., 2р- і),
i-i,
1 Не исключена возможность р = т — \, в каковом случае равенства Du. = --• DpjrI —... = Dm-а = 0 механически отпадают)
12 где < ... < їр суть корни ортогонального полинома Р,,(м).
Докажем, что при р<т — 2 имеют место равенства
(6J N1- = (/ =0,1,.. .,2т—2р —3).
Так как при любом вещественном X:
Ak (и) — и2к (1+ 'ш)гРр (и) > 0 (к = 0,1,...,т — р — 2), (м) = (1 + ш-)2 Pl (и) > 0 (t=0,1,..., /и—/?—3),
то
О < S {Л* (и)} = М* 4- 2Wrt+i + XW2ft + - ;
О < <3 {?f («)} « W2 + 2ХЛ/гг+г Н~ XW2i4 4 .
Полагая в этих соотношениях к = і = 0 и замечая, что Dp- 0 и
г6а) N0 = 8 {Р; (и)} « Dp-I © {Рр (и) я"} - Dp^1 Dp,
