Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
под кривой плотности Р справа от точки Р. Заметим, что
значения Р-отношения отличаются от вычисленных для модели с фиксированными эффектами.
Замечание 4.3.2. Вопрос об объединении намного существеннее для модели со случайными эффектами, чем с фиксированными, потому что в этом случае объединение может резко увеличить число степеней свободы знаменателя и, таким образом, увеличить мощность критерия для главных эффектов. Пусть, например, / = / = Зи/С=Ю. Предположим, что мы приняли гипотезу аддитивности [Н0: (оф)г; = 0 (в модели I) или Н0: а\ь = 0 (в модели II)]. Соответствующие вычисления показывают возрастание числа степеней свободы знаменателя Р-отношения при объединении источников дисперсии. Но в случае модели I можно выиграть только 4 степени свободы, в то время как в модели II — целых 81.
Модель I Модель II
Без объединения Vi= 81 v2 = 4
С объединением vP = 85 vP = 85
4.3. Двухфакторный дисперсионный анализ
253
Пример 4.3.3 (продолжение). Предположим с иллюстративными целями, что результаты расчета по программе для модели II собраны в табл. В — таблицу результатов дисперсионного анализа для данного примера (см. выше). Используя равенство (4.3.5), получим оценки компонент дисперсии:
МЭК = дисперсия ошибки = 0.4897,
о\ = (1.2164 - 0.0143)/6 = 0.2004,
61 = (0.3314 - 0.0143)/12 = 0.0264,
61ь = (0.0143 - 0.4897)/3 < 0.
Так как компонента дисперсии должна быть неотрицательной, то последнюю оценку для Ь\ь заменяем на нулевую.
Значение критериев и вычисленная по табл. 4.3.4 величина ^-отношения приводятся в следующей таблице. Интересно отметить, что критерий теперь показывает значимое отличие от нуля компонент дисперсии сг? и сг|. Заметим, что оценка значимости оказывается различной в зависимости от того, какую модель дисперсионного анализа — модель I или модель II — мы рассматриваем. Поскольку взаимодействие незначимо, то стороннику объединения может показаться целесообразным произвести объединение, так как число степеней свободы знаменателя слишком мало для оценки сг| и сг|. После объединения он получит соответственно значения Р = 2.93 и Р = 0.80. Оба они незначимы. Эти изменения в оценке значимости показывают, насколько различными могут оказаться результаты в зависимости от отношения исследователя к объединению. V
Я0: °1ь = 0 . Н0:оа2=0 Я0:^2 = 0
= 0.03 Г = 85.Г Г = 23.2
= 3 V, =3 VI = 1
= 16 у2 = 3 ъ = з
N5 Р < 0.005 Р < 0.005
4.3.2. Неповторяемые двухфакторные планы. Фиксированные и случайные эффекты
В этом разделе будем считать, что заданы факторы А и В с / и / уровнями соответственно, но в каждой ячейке величина У наблюдается К. = 1 раз. Такой эксперимент мы называем неповторяемым. Для него, как видно из табл. 4.3.1, остаточное число степеней свободы ук = И (К — 1) равно нулю. Мы хотим построить статистику сначала для случая фиксированных эффектов. Для этого будем считать, что все дифференциальные эффекты, свя-
1
254 Гл. 4. Дисперсионный анализ
занные с взаимодействием между факторами А и В, равны нулю. Тогда мы можем использовать сумму квадратов взаимодействий и соответствующее число степеней свободы для повторяемых экспериментов как остаточную сумму квадратов и число степеней свободы в нашем случае. Таким образом, неповторяемый двух-факторный план с фиксированными эффектами описывается моделью
Уц = 1л + а, + ^ + еф 1 = 1, . . /, / = 1, . . У, (4.3.6)
где и. есть генеральное среднее, осг есть 1-й дифференциальный эффект фактора А, В7- есть /-й дифференциальный эффект фактора В, а ошибки ец независимы и распределены по N (О, сг2).
Для обеспечения единственности ЛШК-оценок параметров модели наложим дополнительные ограничения
2 «1 = 0, 2 Р/ = 0 (4.3.7)
1=1 /=1
и получим
р. = г/.., а1 = у1.—у.., $} = у.]—у.., для 1 = 1,
/= 1, . . ., У. (4.3.8)
Неповторяемый двухфакторный план со случайными эффектами имеет вид
^ = М> + ^ + + ^7- I =< 1, • • •, Л / = 1_____-Л (4.3.9)
где р. — генеральное среднее, аг, р;-, вц — независимые в совокупности случайные величины, причем а1 распределены по
Таблица 4.3.5
Таблица неповторяемого двухфакторного дисперсионного анализа
Источник Сумма Число Средний
дисперсии квадратов степеней квадрат
свободы г
Фактор Л ^а = ^ ^(91--9-? уА=1-1 №а=ББа
1=1
Фактор В 55в= / 2 (9.,-у--)2 ув = 1-1 Шв =
/=1
Остаток Р, Ъ5х = % ? (у^-д^— ^=(/_ _
(ошибка) 1=1 /=1 _!)(/_!) тоЯ - V
Полная ББт = 2 2 (И / ~ 9 ¦ • )2 ут = // - 1
1=1 /=1
4.3. Двухфакторный дисперсионный анализ
255
N (О, <з%), bj — по N (О, а%), a etj — по N (О, о* + a\b). Заметим, что дисперсия ошибок в данном случае равна сумме двух дисперсий alb и tf2-
Для обеих моделей таблица ANOVA имеет вид табл. 4.3.5, а выражения для EMS как для модели I, так и для модели II приведены в табл. 4.3.6. Так, средний квадрат MSR в случае модели I
Таблица 4.3.6
Ожидания средних квадратов
для неповторяемых двухфакторных планов
с фиксированными и случайными эффектами
Источник дисперсии EMS модель I EMS модель II
