Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица А
Набор данных
Д иета
Пол
Мужчины
ЬКенщины
Средние по , столацам
Средние по
Dy D2 строкам
4,079 4.368 4.169 4.928 4.6697
4.859 5.668 5.709 5.608
3,540 3.752 4.416 4.940
2.870 3.578 4.403 4.905 4.4347
4.648 5.393 4.496 5.208
3.847 4.374 4.688 4.806
3.9738 4.5222 4.6468 5.0658 4.5522
часть таблицы А примера 4.2.2), а также частные средние по строкам и столбцам. Так, например, МНК-оценки параметров ц, «1 и р2 суть ц = 4.5522, аг = 3.9738 — 4.5522 = —0.5784, р2 = >*= 4.4347 — 4.5522 = —0.1175. МНК-оценка взаимодействия диеты Дх и мужчин есть
(ар)и = (4.079 + 4.859 + 3.540)/3 - 3.9738 -- 4.6697 + 4.5522 = 0.0680.
250
Гл. 4. Дисперсионный анализ
В табл. В приводятся результаты дисперсионного анализа. Проверим гипотезы относительно параметров, используя табл. 4.3.2. Соответствующие значения ^-статистики, числа сте-
Таблица В
Результаты дисперсионного анализа
Источник дисперсии Число степеней свободы МБ
Диета 3.6491 3 '1.2164
Пол 0.3314 1 0.3314
Диета X пол 0.0428 3 0.0143
Остаток 7.8353 16 0.4897
Полная 11.8586 23 _
пеней свободы и Р-значения собраны в табл. С. Из нее видно, что при уровне 0.05 нет значимых главных эффектов или взаимодействий. Это не противоречит результатам примера 4.2.2, поскольку мы использовали только часть данных. Но, вообще
Таблица С
Проверка гипотез
Н0: все (а/3)у = 0 Отсутствие взаимодействия пола и Ъиеты Н0: все а, = 0 Отсутствие дифференциальных эффектов пола Н0: все /3; = 0 Отсутствие дифференциальных эффектов диеты
Г = 0.03 Г = 2.48 F = 0.68
VI = 3 V, =3 У, = 1
мг = 16 у2 = 16 у2 = 16
N5 N5 N8
говоря, включение новых факторов чаще приводит к увеличению статистической значимости других. Ц Щ
Поскольку эффект взаимодействия оказался|незначимым, сторонник объединения мог бы (в соответствии с замечанием 4.3.1.2) вычислить объединенные характеристики ББр = 0.0428 + + 7.8353 = 7.8781, уР = 3 + 16 = 19 и, наконец, МЭР = = 7.878/19 = 0.4146. Новые значения F-oтнoшeния равны г7 = = 1.2164/0.4146 = 2.93 для фактора А и = 0.3314/0.4146 = = 0.80 для фактора В. Эти значения нужно сравнить с процен-тилями распределений F (3, 19) и Т7 (1, 19) соответственно. Оказывается, что и после объединения ни один главный эффект значимо не отличается от нуля при уровне ос = 0.05. Отметим, наконец, что оценки дисперсии сг2 равны МБр = 0.4897 (без объединения) и МБр = 0.4146 (с объединением).
4.3. Двухфакторный дисперсионный анализ
251
Если оба фактора А и В соответствуют модели II, то модель называется двухфакторным планом со случайными эффектами и описывается соотношениями
Уф = |1 + а, + Ь, + (аЬ)ц + еиь
1 = 1, .... /, /=--1, .... У, Л = 1, .... /С, ( }
где и — генеральное среднее, а1 независимы и распределены по N (0, гга), Ь,- независимы и распределены по ЛГ (0, а2), (аЬ)0- независимы и распределены по # (0, сгай) и, наконец, вцъ. независимы и распределены по N (0, сг2). Кроме того, считается, что все величины а;, Ъ}, (аЬ)а и еик независимы в совокупности.
В этой модели выделяются четыре компоненты дисперсии о"я, СГ&, ъ\ь и сг2, связанные с соответствующими источниками: факторами А, В, АВ и остатком И. Для вычисления несмещенных оценок первых трех компонент и проверки гипотез о равенстве этих компонент нулю нам потребуется вычислить ЕМБ (ожидания средних квадратов) для каждого источника дисперсии-В табл. 4.3.3 приведены эти величины как для фиксированных эффектов (модель I), так и для случайных (модель II).
Таблица 4.3.3
Ожидания средних квадратов для повторяемых двухфакторных планов с фиксярованными и случайиымя эффектами
Источник дисперсии EMS моЪель I EMS моЬельЖ
А <т2 + Ка2ь + ЗКа2
В а2 + Ка2„ + /Ко»2
AB + (/-1) (/-1) а2 + Ка2.ь
R а2 а2
Для получения несмещенной оценки компоненты дисперсии нужно сначала представить эту компоненту в виде линейной комбинации EMS (в модели II) и затем взять ту же линейную комбинацию средних квадратов. Таким образом, мы получаем оценки
А2 MSa-MSab А2 _ МЭд - MS^b а2 _ MSAB - MSR
CT0.--> *Ь- щ , Gab % •
(4.3.5)
252 Гл. 4. Дисперсионный анализ
Р-отношение для гипотезы Н0 относительно компоненты дисперсии строится по табл. 4,3.3. Числителем Р-отношения служит средний квадрат (MS) источника дисперсии, соответствующего данной компоненте. Знаменатель Р-отношения равен MS того источника дисперсии, EMS которого при выполнении гипотезы #0 равняется EMS числителя. Например, при проверке гипотезы Но'- er2, = 0 числитель Р-отношения равен MSA. Так как при выполнении гипотезы #0 имеет место равенство EMSA = EMSA?, то в соответствии с только что сформулированным правилом, знаменателем Р-отношения служит MSA?, т. е. Р = MSA/MSA?. Таким образом, мы получим все критерии, приведенные в табл. 4.3.4. Р-значение для каждого критерия равно площади
Таблица 4.3.4
Проверка гипотез для повторяемого двухфакторного плана. Случайные эффекты
Н0: <т|6 = 0 Н0: oi = 0 Н0: о? = 0
F = MS.,, MSr F = MS., MS.,, / = MS, MS.,,
vi - Vi = /-1 Vi = /-1
vi - ЩК-1) v2 = (/-i)(y-i) vz = (/-1)(У-1)
