Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
ствуют модели I, то двухфакторный план с фиксированными эффектами задается соотношениями
Здесь р, — генеральное среднее, <хг есть 1-й дифференциальный (или главный) эффект фактора А, Р; есть /-й дифференциальный эффект фактора В. Величина (осР)г7- называется (двухфакторным) взаимодействием г-го уровня фактора А и /-го уровня фактора В. Эта величина учитывает дифференциальный эффект комбинаций г-го уровня фактора А и /-го уровня фактора В, если он не выражается суммой ос,- + р\; + V- Модель, в которой взаимодействия
У ни = И- + + Р/ + (°Ф)г/ + ет, I = 1, .... /, / = 1, . . ., 1, к .-. 1,
к-- 1, . . ., К.
(4.3.1)
4.3. Двухфакторный дисперсионный анализ
247
(оф)0- при всех I, / равны нулю, называется аддитивной. Впоследствии мы увидим, как можно проверить гипотезу аддитивности. И наконец, ошибки вцк предполагаются независимыми и распределенными по N (0, сг2).
Обсудим теперь оценки параметров — дифференциальных эффектов и взаимодействий. Поскольку для этой модели МНК,-оценки неоднозначны, то на дифференциальные эффекты приходится наложить соответствующие дополнительные ограничения. Мы потребуем, чтобы
2 Щ = О, Ц ру = О,
1=1 у=1
2 - 0, /=1, ...,/; 2 («Р)// = 0, 1 = 1,.. ., /. (4.3.2)
1=1 1=1
При этих ограничениях МНК-оценки становятся однозначными и дают
А = #¦•¦, щ = у(.. - д..., ь^д./.—д...,
1Щ11 = У1,.—У1..-у.!.-\-у..., »' = 1, ...,/, / = 1, .... /.(4.3.3)
Все эти величины вычисляются любой факторной программой дисперсионного анализа. Средние у е.. иногда называют средними по строкам, у.г — средними по столбцам и д...—¦ средними по всем элементам. Кроме перечисленных оценок программы вычисляют и печатают таблицы АЫОУА, подобные табл. 4.3.1. Эти таблицы
Таблица 4.3.1
Таблица повторяемого двухфакторного дисперсионного анализа
Источник Сумма Число степеней Средний
дисперсии квадратов свободы квадрат
Б^в
Фактора ББа = /К 2] (г/г-. — у- -у1 уд = / — 1 МБд = ¦
1=1 J
Фактор В ББв = 1К (у-,- — у--)1 \-в = /—1 МБВ :
1=1 1 .1
Взаимодей- БЗдв = к У\ У\(уп— ^къ= мя, _ §^ав
ствие АВ 1=1/=1 =(/—1) (/-1)- Ав~^д7
— У г- — Уч- + У-у-1 J К
Остаток (ошиб- ББк = Д ? I! (УЧк ~ ун = //(*-!) МБК =
1 .1 К
Полная 58т=5] 5] хт = нк—1
1=1 1=1 к=1 1
~У--)г
VI?
248 Гл. 4. Дисперсионный анализ
содержат суммы квадратов, число степеней свободы и средние значения квадратов для компонент дисперсии: остаточной, определяемой факторами А и В я определяемой взаимодействием факторов А и В. Слагаемое, отвечающее взаимодействию, обычно обозначается как АВ (или А X В). Оценка дисперсии ошибки сг2 определяется по табл. 4.3.1 как среднее значение остаточного квадрата МБ,}. Можно также проверить гипотезы о дифференциальных эффектах. Эти гипотезы, соответствующие критерии и их статистики вместе с числами степеней свободы сведены в табл. 4.3.2. Р-значение определяется как площадь справа от
Таблица 4.3.2
Проверка гипотез для повториемого двухфакториого плана с фиксированными эффектами
Н„ : все (а, |5),;. = 0 Н„ : все (а(.) = 0 Н, : все |5у = 0
Отсутствие эффектов Отсутствие главных Отсутствие главных
взаимодействия эффектов фактора А эффектов фактора В
р _ м5-" р _ Ши = Шв
МБ*. Мвк ~ МБк
у1 =(/-1)(/-1) у1=7-1 у,=/-1
у2 = ЩК-1) у2 = и(к~ 1) V, = Ц(К- 1)
числа Т7 под кривой плотности распределения Т7 (ух, V.;). Нужно заметить, что в некоторых случаях суммы квадратов 55лв и ББд могут складываться (т. е. объединяться). Мы обсудим это в замечаниях 4.3.1.
Замечания 4.3.1. 1. Обычно сначала проверяется гипотеза Я0: все (а$)1} = 0. Если оказывается, что взаимодействие незначимо отличается от нуля, то при анализе главных эффектов есть два пути. Первый — перейти к исследованию главных эффектов» исходя из величин, приведенных в столбцах 2 и 3 табл. 4.3.2. Второй — объединить остаточную сумму квадратов 5БК с суммой ББав, соответствующей взаимодействию, чтобы получить новую оценку дисперсии сг2. В этом случае объединенная сумма квадратов есть ЭЭр = ББд + ББ^в, а число степеней свободы Vp = — уя + уав- Оценкой дисперсии а2 служит МБР = ББр/ур; для проверки гипотезы Я0: все аг = 0 служит отношение Т7 == = МБл/МЭр, а гипотеза Я0: все В7- = 0 проверяется отношением /*¦ = М5в/М5р. Р-значение вычисляется как площадь справа от под кривой плотности распределения Т7 ур).
4.3. Двухфакторный дисперсионный анализ
249
2. Всех исследователей можно поделить на три категории: часто объединяющие, редко объединяющие и необъединяющие. Необъединяющие не изменяют оценку сг2 независимо от результата оценки взаимодействия. Часто объединяющие пересчитывают оценку для сг2, если взаимодействие несущественно. Редко объединяющие переходят к объединению, только если Р-значение, полученное при проверке гипотезы аддитивности, достаточно велико, например Р > 0.5. Нет никаких точных правил выбора единственного решения в каждой ситуации. Поэтому каждый исследователь сам определяет свой «статус объединителя».
Пример 4.3.3. Продолжим рассмотрение примера 4.2.2 и попытаемся теперь оценить влияние на количество выдыхаемого азота не только диеты (фактор А с / = 4 уровнями), но и пола (фактор В с J = 2 уровнями). Пусть, например, каждая комбинация пола и диеты повторена 3 раза (К = 3). Описанная ситуация соответствует модели двухфакторного дисперсионного анализа с фиксированными эффектами и равным числом наблюдений в ячейках. В табл. А приводятся исходные данные для анализа (эта таблица —
