Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Афифи А. -> "Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ" -> 90

Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.

Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ. Под редакцией Башарина Г.П. — М.: Мир, 1982. — 488 c.
Скачать (прямая ссылка): stap1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 183 >> Следующая

Пример 4.2.2 (продолжение). Предположим, что при исследовании на газообразный азот экспериментатор зафиксировал четыре диеты: Ох — безбелковая, Оа — 23 % белков, С3 — 32 % белков, /_)4 — 67 % белков. Предположим также, что для 1-й диеты, i = 1, 4, экспериментатор случайно отобрал 9 испытуемых. Такой эксперимент адекватно описывается моделью одно-факторного дисперсионного анализа с фиксированными эффектами. В табл. А указано количество выдыхаемого азота для всех
Таблица А
Набор данных
о, о2 Оз о*
4.079 4.368 4.169 4.928
4.859 5.668 5.709 5.608
3.540 3.752 4.416 4.940
5.047 5.848 5.666 5.291
3.298 3.802 4.123 4.674
4.679 4.844 5.059 5.038
2.870 3.578 4.403 4.905
4.648 5.393 4.496 5.208
3.847 4.374 4.688 4.806
Средние' 4.0963 4.6252 4.7477 5.0442
До конца главы мы будем записывать эту гипотезу просто как «Я0: все <Х( = 0».
240
Гл. 4. Дисперсионный анализ
п — 36 объектов, а также среднее для каждой диеты. Заметим, что количество выдыхаемого азота в среднем возрастает при возрастании потребления белков.
По этим данным можно получить МНК-оценки параметров модели. Оценки средних суть р,! = 4.0963, р,4 = 5.0442, оценка генерального среднего р, = (4.0963 + 5.0442)/4 = 4.6284, а оценки дифференциальных эффектов 6% = 4.0963 — 4.6284 = —0.5321, ...
а4 = 5.0442 — 4.6284 = 0.4158.
Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. В. Для проверки гипотезы #„: все щ = 0 сравним значение Р ==
Таблица В
Дисперсионный анализ
Источник дисперсии Сумма квадратов Число степеней свободы Средний квадрат ґ-отиошеиие
Между диетами 4.2321 3 1.4107 3.21
Внутри диет 14.0569 32 0.4393
Полная 18.2890 35
= 3.21 с процентилями распределения Р (3, 32). Оказывается, что р <0.05. Поэтому гипотеза Н0 отвергается и нужно воспользоваться методом множественных сравнений, чтобы решить, какие диеты различаются. Отметим, что оценка дисперсии а2 равна МБК = 0.4393.
4.2.2. Модель со случайными эффектами
Рассмотрим теперь другую интерпретацию однофакторного плана — модель со случайными эффектами (модель компонентного анализа или модель II). На этот раз мы предполагаем, что / под-популяций случайно выбираются из бесконечной совокупности всех возможных подпопуляций. Каждой подпопуляции присваивается номер от 1 до /, и 1-я подпопуляция считается соответствующей 1-му уровню фактора. Из каждой подпопуляции случайно выбираются 11 объектов и рассматриваются значения
уп.....уц., х = 1, /. Предполагается, что эти наблюдения
распределены нормально со средним тг и дисперсией а2, не зависящей от уровня I, 1 = 1, / (рис. 4.2.1). Кроме того, предположим, что тъ т1 представляют случайную выборку из совокупности, нормально распределенной со средним и. и дисперсией о\. Определим 1-й дифференциальный (главный) эффект фактора равенством а1 = т1 — р.. В отличие от эффектов щ в мо-
4.2. Однофакторный дисперсионный анализ 241
дели с фиксированными эффектами этот эффект представляет собой случайную величину, распределенную нормально с нулевым средним и дисперсией ста. Итак, модель однофакторного дисперсионного анализа со случайными эсрфектами (модель II) описывается уравнениями
&/ = !*+a* + fy. /=1, t = l, ...,/, (4.2.11)
где at распределены по N (О, о%), еи распределены по N (О, ст2) и все at и еи в совокупности независимы, / = 1, Ju i = 1 • •., /.
В случае модели I нас интересовала оценка дифференциального эффекта щ для i-ro уровня фактора и проверки гипотезы о том, что все а,- равны нулю. В случае же модели II нас интересует не оценка отдельных эффектов at, а оценка дисперсии ст2, распределения дифференциальных эффектов. Другими словами, мы хотим оценить среднее ц и две компоненты дисперсии СТ2 И СТ2, и проверить гипотезу #0: а% = 0, означающую, что фактор не вносит никакого вклада в дисперсию.
Для оценки компоненты дисперсии ст| и проверки гипотезы Я0: Ста = 0 нужно вычислить дополнительные величины, называемые ожиданиями средних квадратов (сокращенно EMS) *). Они вычисляются для каждой компоненты дисперсии (исключая полную) как среднее значение квадратов в исходной модели. Значения EMS можно вычислить и для модели с фиксированными эффектами, но там они не необходимы для построения соответствующих критериев.
В большинстве ПСП величины EMS не вычисляются. Формулы их вычисления читатель может найти в соответствующих книгах, например в этой, где такие формулы обычно сводятся в таблицы, наподобие табл. 4.2.2. В ней приводятся определения внутри-
Таблица 4.2.2
EMS для однофакторной модели дисперсионного анализа (модели I н II)
Источник дисперсии EMS Модель I EMS Модель 11
Между уровней (групп) ^ / — 1 [см. (4.2.12)]
Внутри уровней (групп) о2 о2
) От английского Expected Mean Squares. — Прим. перев.
242
Гл. 4. Дисперсионный анализ
уровневого и межуровневого EMS как для моделей с фиксированными, так и со случайными эффектами. Заметим, что в обоих случаях остаточное EMS равно дисперсии сг2 (позже мы убедимся, что это верно для всех моделей дисперсионного анализа). Отметим еще, что если (в модели I) ах = ... = ос7 = 0 или (в модели II) дисперсия сг| = 0, то внутриуровневые и межуровневые средние квадраты MS могут служить оценками дисперсии. Для модели II межуровневое EMS оценивается суммой
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed