Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
Рисунок 4.2.1 поясняет разницу между моделью I и моделью II для фактора с / = 3 уровнями. В случае модели II величина т%
1-я
поопопуляция
Модель 1
Рис. 4.2.1. Сравнение факторов, описываемых моделью I и моделью II. Модель I — проверяется гипотеза #„: \ix = р,2 = р,3 = \i или сех = се2 = се3 = 0; значения ц2 и И-з выбираются по плану. Модель II — проверяется гипотеза На: о? = 0; mv m2, т3 выбираются случайно.
4.2. Однофакториый дисперсионный анализ
237
обозначает среднее значение на случайно выбранной подпопуля-ции, соответствующей t-му уровню фактора (i = 1, 2, 3), a al — дисперсию популяции средних, отвечающих разным значениям фактора. В двух следующих разделах мы поочередно обсудим обе модели, а рис. 4.2.1 призван пояснить это обсуждение.
Раздел 4.2.1 посвящен случаю, когда А—фактор, соответствующий модели I. Такая модель называется еще однофакторной моделью дисперсионного анализа с фиксированными эффектами (а фактор — фиксированным фактором). Затем в разд. 4.2.2 рассматривается ситуация, когда А — фактор, соответствующий модели II. Эта модель называется еще однофакторной моделью дисперсионного анализа со случайными эффектами (а фактор — случайным фактором).
4.2.1. Модель с фиксированными эффектами
Модель однофакторного дисперсионного анализа с фиксированными эффектами (модель I) задается соотношением (4.2.1) или (4.2.4) Из второго описания понятно, почему для характеристики модели используется термин «фиксированные эффекты». В этом представлении каждое наблюдаемое значение складывается из генерального среднего р. и дифференциального «эффекта» at, фиксированного в том смысле, что подпопуляция со средним u. + at зафиксирована экспериментатором. Любое из соотношений, задающих модель, можно привести к виду общей линейной модели (4.1.1). Поэтому для построения оценок параметров и проверки гипотез относительно этих параметров можно воспользоваться теорией, изложенной в разд. 4.1. Из представления модели в виде (4.2.1) можно вывести МНК-оценки Дг для д^, i — 1, /. Из них вытекают МНК-оценки величин ц и ait входящих в соотно-
шение (4.2.4): (л = (1/я) ? ЛАг и а, = & — р,, t = 1, .... /.
(=1
Таким образом, мы получаем МНК-оценки р и а( для параметров и. и at модели (4.2.4). Соответственно, МНК-оценкой для средних fa в модели (4.2.1) служит рг = р + ait i = 1, .... /. Отсюда видно, что оценки наименьших квадратов для параметров . одной модели выражаются через оценки параметров другой. !>, Поскольку таблицы для обеих форм модели однофакторного ана-I лиза совпадают, то совпадают и оценки для дисперсии а2 так же, | как и критерии для проверки гипотезы #„: щ ==... = р./ = р, [ в модели (4.2.1) или Я0: at == ... = а; = 0 в модели (4.2.4). Еще {, раз отметим, что эти гипотезы эквивалентны, так что можно рабо-' тать с любым видом модели. Мы предпочтем (4.2.4).
Для того чтобы обеспечить единственность оценок наименьших квадратов, нам придется наложить дополнительное ограни-
238
Гл. 4. Дисперсионный анализ
чение на параметры аи а7. Обычное требование состоит в том, чтобы взвешенная сумма эффектов равнялась нулю:
Е JiЩ = 0. (4.2.5)
(=1
Таким образом, задача сводится к минимизации суммы квадратов
•1
5 - Ц Ц (уи - и - а<)2 (4.2.6)
1=1 /=1
по переменным (г и а,, I. = 1, /, подчиненным условию (4.2.5). МНК-оценки находятся однозначно в виде
1=\ /=1
*{
«< = Уи — У.. = ^7 ^Уц — У.., » = 1...../. (4.2.8)
Обычная несмещенная оценка дисперсии а2 имеет вид
МБК = 52 = Ц Ц (уц - ?(-.)2/(я - /). (4.2.9)
1=11=1
Типичная программа однофакторного дисперсионного анализа печатает МНК-оценки |1г и р,. По ним пользователь может найти оценки эффектов щ:
аг = рг —р. (4.2.10)
Кроме того, программа вычисляет и печатает таблицу, аналогичную табл. 4.2.1. В ней обычно приводятся сумма квадратов (ББ),
Таблица 4.2.1
Таблица однофакторного дисперсионного анализа
Источник Степени Средний
дисперсии сУмма квадратов свободы квадрат ^-отношение
Между уровнями (группами) 55в= ; =1 ¦г Vв = / — 1 мс ЗБв „ МБв vв Мьк
Внутри уровней (групп) 55к = 2 2 (уи-1=11=1 У1-)2 ч% = п- i М5К = VR
Полная ББт = I ^ (=1 /=1 у-)2 VI = п — 1
4.2. Однофакторный дисперсионный анализ
239
число степеней свободы (\) и средний квадрат (МБ) для каждого из источников дисперсии — межуровневого (или межгруппового) и внутриуровневого (внутригруппового). Последнюю величину называют еще остаточной суммой квадратов (или суммой квадратов ошибок). Иногда печатаются еще полная сумма квадратов и число степеней свободы. (Эти последние равны суммам соответствующих величин внутри и между групп.) Из таблицы мы можем найти &\ числитель в (4.2.9) представляет собой остаточную сумму квадратов ББ,, знаменатель — остаточное число степеней свободы V,, & & — среднее значение остаточного квадрата МБК.
Для проверки гипотезы #„: ах = ... = а7 = О1) о том, что все дифференциальные эффекты равны нулю, воспользуемся теорией разд. 4.1.3. Как и там, для проверки Н0 мы вычислим ?-отношение, т. е. отношение среднего межгруппового квадрата к среднему внутригрупповому квадрату. Р-значением служит площадь справа от величины ? под кривой плотности распределения ? (I — 1, п — /). Принятие гипотезы Н0: все а( = О означает справедливость эквивалентной гипотезы, т. е. #0: На = •¦• = Н-у = 1*, что все / средних по подпопуляциям равны генеральному среднему.
