Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
: величины используют более привычное обозначение s2. Эта оценка : дисперсии используется при построении доверительных интерва-
р
[ лов (4.1.9) для любой линейной комбинации S cfit параметров 6г.
j' Число степеней свободы возникающего при этом ^-распределения j; равно остаточному числу степеней свободы vR.
С _
х) Эта гипотеза отличается от принятой формы Н0: 9< = 0. Но, сделав замену Цх = 9j, = 9i -f- в2, приведем нашу гипотезу к виду Н0: 92 = 0.
234 Гл. 4. Дисперсионный анализ
3. Каждая задача проверки гипотез относительно параметров модели дисперсионного анализа приводит к некоторому Р-крите-рию. Каждая р-статистика есть отношение средних квадратов, обычно представленных в соответствующей таблице АИОУА.
4.2. Однофакторный дисперсионный анализ
Обсудим теперь простейшую модель дисперсионного анализа — однофакторный дисперсионный анализ (называемый еще одно-факторным планом или однофакторной классификацией). Мы вновь возвращаемся к этой модели, уже рассмотренной в разд. 2.4, чтобы прояснить некоторые понятия дисперсионного анализа. Напомним, что у нас есть / подпопуляций, которые можно рассматривать как / слоев в исходной популяции. Обозначим средние значения измеряемой величины по 1-й подпопуляций через и.,, I = 1, ..., /. В этом разделе мы займемся оцениванием средних и.г по случайным выборкам из этих / подпопуляций, а затем — проверкой гипотез относительно средних. Для этого, предположим, что каждая подпопуляция распределена нормально с одной и той же дисперсией. Итак, у нас есть / нормально распределенных подпопуляций N ([1], а2), N (и./, а2). Сформулированные предположения можно записать в виде
Уи = |1, + еф }=1, ;=1, ...,/, (4.2.1)
где Уи обозначает /-е наблюдение из 1-й подпопуляций, а «ошибки» еи независимы и распределены по N (0, а2). Соотношения (4.2.1) представляют собой одну из форм однофакторной модели дисперсионного анализа.
Во многих случаях желательно выразить 1-е среднее р,г в виде суммы генерального среднего (д. и дифференциальных (или главных) эффектов а,, определяемых для каждой подпопуляций. Такое разложение получится, если определить
^=421^" (4-2-2)
/
где п = 2 -Л- и
1=1
Теперь мы можем переписать ного анализа в виде
уи = |1 + а, + еф /=!,.../«, 1 = 1,...,/, (4.2.4)
= 14 - и, (4.2.3)
однофакторную модель дисперсион-
4.2. Однофакторнын дисперсионный анализ
235
где ошибки ви независимы и распределены по N (О, о2). Именно такой формой модели мы и будем пользоваться в этой главе.
При интерпретации дисперсионного анализа эта однофактор-ная модель А]\ЮУА используется при планировании эксперимента с одним фактором. Грубо говоря, фактор А служит основанием для классификации всей совокупности исследуемых объектов. Пусть У — случайная величина, определенная на этой популяции, а [х — ее среднее. Пусть популяция разбита на / подпопу-ляций так, что каждая подпопуляция соответствует уровню I фактора А, I = 1, /. В представлении [хг- = д. + сег- для среднего величины У на 1-й подпопуляции а{ есть дифференциальный эффект, соответствующий уровню 1. На каждом уровне I случайно выбираются /г объектов и определяется выборка уп, уц Здесь уи —значение У на /м объекте, приписанном к 1-му уровню. Рассматриваемая модель дисперсионного анализа описывает именно такую ситуацию в предположении, что распределение У на каждой подпопуляции нормально с одной и той же дисперсией о2. Каждое значение у^ равно сумме генерального среднего [х (единого для всех / уровней фактора), дифференциального эффекта аи определяемого уровнем 1, и случайной ошибки е^. Поясним все это двумя примерами.
Пример 4.2.1 При исследовании эффекта рентгеновского облучения различные крысы получили дозы 0, 100, 200 и 300 рентген. Тем самым у фактора А — полученной дозы радиоактивности — определено 4 уровня (/ = 4), соответствующих дозам 0, 100, 200 и 300 рентген. Уровни занумерованы от 1 до 4 в порядке возрастания доз, так что первый уровень соответствует нулю рентген, а четвертый — 300 рентген. Популяция (' состоит из крыс (исследуемых объектов), получивших 1-ю дозу. Исследуется случайная величина У — площадь обожженной кожи у крыс после облучения. В этом случае д.г — средняя площадь ожога для 1-го уровня радиации, а а1 —дифференциальный эффект 1-го уровня (1 = 1, 2, 3, 4).
Пример 4.2.2. В работе СгвяПс е/ а1. (1972) были опубликованы экспериментальные данные, подтверждающие образование газообразного азота в человеческом организме в естественных условиях. Авторы измеряли величину У — количество выдыхаемого азота (в литрах) в покое и при четырех режимах питания. Каждая из / = 4 диет (фактор А) характеризовалась процентным содержанием белков. В этом случае [х; — среднее количество выдыхаемого азота при 1-й диете, аа; — дифференциальный эффект, т. е. влияние 1-й диеты на количество выдыхаемого азота, I = 1, 4. В последующем мы проанализируем этот пример различными способами.
236
Гл. 4. Дисперсионный анализ
В настоящей главе нам встретятся модели факторного анализа, связанные с планами, содержащими несколько факторов. Каждый фактор будет интерпретироваться либо по модели I, либо по модели II. Будем говорить, что фактор соответствует модели I, если экспериментатора интересуют подпопуляции, отвечающие именно данным уровням этого фактора. В частности, при повторении эксперимента будут рассматриваться случайные выборки из тех же самых подпопуляции. В примере 4.2.1 радиация — фактор, соответствующий модели I, если экспериментатор интересуется реакцией крыс именно на дозы в 0, 100, 200 и 300 рентген; точно так же в примере 4.2.2 диета есть фактор, соответствующий модели I, если нас интересуют именно эти четыре диеты. И наоборот, фактор относится к модели II, если подпопуляции, соответствующие различным уровням фактора, выбираются случайно из большого (бесконечного) числа подпопуляции. Поэтому при повторении эксперимента скорее всего мы будем иметь дело со случайными выборками из других подпопуляции. Так, в примере 4.2.1 радиация будет фактором, соответствующим модели II, если значение дозы облучения, которым подвергаются подопытные крысы, выбираются случайно.
