Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Афифи А. -> "Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ" -> 66

Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.

Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ. Под редакцией Башарина Г.П. — М.: Мир, 1982. — 488 c.
Скачать (прямая ссылка): stap1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 183 >> Следующая

Итак, квадрат множественного коэффициента корреляции равен доле дисперсии У, «объясненной» регрессионной зависимостью с Хх, Хр.
3. Множественный коэффициент корреляции неотрицателен по определению. Так, в случае двумерного нормального распределения (р — 1) имеем
РуХ1 = Рх^у = |р*1!/|'
где рХ1у — простой коэффициент корреляции между Хх и У.
4. Когда р = 2, выражение (3.2.15) можно записать в виде
IV*!*., = и» + р1 (*1 —1*0 + Р.2 (*2 — Ы-
График этого уравнения есть плоскость (называемая плоскостью регрессии У по Хх и Х2) в пространстве, определенном координатными осями хх, хг и Цг/-*1*2. При Р > 2 график, определяемый уравнением (3.2.15), будет гиперплоскостью в (р + 1)-мерном пространстве, определенном осями Хх,^, хр и \лу.Х1...Хр.
5. МножественныйСкоэффйци^н^додг^еляШВ есть максимальное значение простого коэффициента корреляции между У и линейной комбинацией Хх, Х„/ Более того, \ьу.Хг..х является
14 . УСь
176
Гл. 3. Регрессионный и корреляционный анализы
линейной комбинацией, на которой этот максимум достигается. Зависимость между множественным коэффициентом корреляции и параметрами регрессии р\, (Зр будет обсуждаться в замечании 3.2.6.4.
6. Множественный коэффициент корреляции инвариантен относительно невырожденных линейных преобразований исходных переменных. В частности, он инвариантен к изменению масштаба или начала отсчета шкалы измерения У, Хи Хр.
7. Относительно множественного коэффициента корреляции можно сделать замечание, аналогичное 3.1.5.4. Так, (1 —р2/.^...* )1/2 есть доля стандартного отклонения У, оставшаяся «необъясненной» зависимостью от Хг, Хр. Например, если множественный коэффициент корреляции равен 0.9, остается 44 % необъясненного стандартного отклонения У.
3.2.4« Частный коэффициент корреляции
В этом разделе рассматривается еще один коэффициент корреляции, называемый частным коэффициентом корреляции, который • используется как мера линейной зависимости между двумя какими-либо переменными из У, X,, Хр после вычитания «эффекта», обусловленного взаимодействием этих двух переменных с некоторым непустым подмножеством из оставшихся р — 1 переменных. В частности, таким образом можно измерять зависимость между У и независимой переменной Хт после учета линейной зависимости У от некоторого подмножества & переменных, содержащегося среди р — 1 независимых переменных Хи [ = 1, р, {ф т. Эту линейную зависимость У от подмножества & переменных и называют «эффектом» подмножества, о котором упоминалось выше. Теория частного коэффициента корреляции основана, как будет показано далее, на изучении двух условных распределений.
Пусть I я к — две какие-либо переменные из набора У, Хъ Хр и с — некоторое непустое подмножество из оставшихся р — 1 переменных. Определим величины 1Х = I — П./.с И 1ъ = = к — (Хй.сг. Здесь \jlic, Цл-с — соответственно условные ожидаемые значения / и к при данном с. Заметим, что Z1 и 1г — случайные величины, так как они суть функции случайных величин из с. Частный коэффициент корреляции между I и Н при фиксированных значениях переменных из с есть
Р1К»с = рг1г"г (3.2.19
где рг1г, — простой коэффициент корреляции между 1Х и 1%. В этом и следующем разделах будут рассматриваться два частных случая. В первом случае I = У, Н = Хт, т = 1, р, а с составляют все оставшиеся р — 1 независимые переменные. Соответствующий частный коэффициент корреляции будет обозначаться
3.2. Множественная линейная регрессия и корреляции
177
через 9ухтс- Во втором случае также / = Y', h = Xm, а с есть подмножество, состоящее из первых k независимых переменных \ХЪ Х2, Xk\, где 1 <: k <m < р, а частный коэффициент корреляции будет обозначаться через pyXm-x1...xk- Вообще, если в с содержится k переменных, о соответствующем частном коэффициенте корреляции говорится, что это коэффициент k-го порядка.
Замечания 3.2.5. 1. Частный коэффициент корреляции р//,.с есть мера линейной зависимости между / и п, когда величины переменных из с фиксированы. Значения этого коэффициента корреляции заключены между —1 и +1; значение нуль указывает на то, что / и h независимы, когда величины переменных в с фиксированы.
2. Имеет место следующее тождество между множественным и частным коэффициентами корреляции для набора переменных У, Xi, Хк_х, Xk, k = 2, р:
L1 ~ Pg-_*i x±zA. Lmi?|i*i: ¦ ¦ *k-i) (1 ~Pv*k-xi---xk-i)-J Это тождество следует из того, что
V(Y\xu .... xk)=*V(Y\xu x*_o(i -f'W^...*,_,),
где V (У| Хх, Хг)— условная дисперсия У при заданных значениях Хх, X.-, t = 1, р. Так как
. V (К j Хх.....Xk_x) — V (Y \ХХ.....Xk)
Pyxkxi-xk-i— V(Y\XX, .... Xk_t) '
то квадрат частного коэффициента корреляции можно определить как долю остаточной дисперсии У, ^объясненной-» добавлением переменной Xk к набору {Хх, Х^}.
3. Верно соотношение
Рг/*т-с -Рт [ у (Г | с) j ' ' ••"
где с состоит из всех оставшихся р — 1 переменных, а V (Хт \ с) — условная дисперсия Хт при фиксированных значениях переменных из с. Поэтому проверка гипотезы §т = 0 эквивалентна проверке гипотезы рух .с = 0, что будет использовано в следующем разделе.
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed