Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
1.833 0.3112 34.69 0.001
х2 2.683 0.3112 74.33 0.001
Итак, гипотеза Я0: рх = 0 отвергается, равно как и гипотеза Я0: Р2 = 0. Следовательно, Хх дает значимое улучшение предсказания У по сравнению с предсказанием, получаемым с помощью регрессии У только по Хг; соответственно Х% значимо улучшает предсказание У по сравнению с предсказанием У с помощью регрессии У только по Хх. Случай проверки гипотезы о том, что все коэффициенты, входящие в подмножество из т = 2 коэффициентов, равны нулю, будет рассмотрен в примере 3.2.3.
Для 95 %-ного доверительного интервала для рх имеем 1.833 + 0.3112 (2.160) = (1.161, 2.505), где *0.975 (13) = 2.160. Доверительный интервал для р2 получается таким же образом.
Наконец, для проверки гипотезы Я0: р2 = 3.0 против Нх: Р2 <3.0 при уровне а = 0.05 из выражения (3.2.13) вычисляется величина г = (2.683 — 3.000)/0.3112 = —1.019. Это значение сравнивается с процентилями ^-распределения Стьюдента с ук = = 13 степеням свободы. Так как альтернатива односторонняя, имеем Р > 0.10 и гипотеза Я0 принимается.
Замечание 3.2.3. В регр ессионной модели коэффициент р. измеряет степень изменения У в зависимости от Х(, когда значения Х}, / = 1, р, \ф 1, фиксированы. Однако эти коэффициенты могут быть несравнимы по величине из-за различия в единицах измерения Хх, Х„. Эта трудность может быть преодолена применением стшюащшзхшттх ШзШйШмьи~~~ переменных. Именно, введемпеременные 1] = Х]Ы} для / = 1, Р1_где_5|_=
п ——^--" ¦---——"
= 2] (ха — Х])2/(п — 1). Модель множественной линейной регрес-
(=1
сии в терминах 1} теперь будет даваться уравнениями
У1 = То + Уй* + • • ¦ т-ТргР< + Ъ, г = 1, . . ., п,
174
Гл. 3. Регрессионный и корреляционный анализы
где ук, к — О, р, — неизвестные параметры и ег — независимые случайные ошибки, распределенные по закону N (0, о2). МНК-оценки ск для ук и проверка гипотез следуют из развитой выше теории после замены х} и В4 на г3 и ук соответственно. Преимущество стандартизации состоит в том, что ух, ..., ур измеряют теперь степень изменения в одной и той же шкале. Это позволяет делать выводы о влиянии независимых переменных 1Х, 1Р (или, что эквивалентно, Хх, Хр). Так, большое значение с} указывает на высокую степень влияния 1^ (или Ху), \ = 1, р.
3.2.3. Множественный коэффициент корреляции
В этом и следующем разделах будет рассматриваться теоретическое обоснование модели множественной линейной регрессии. Эта теория предполагает, что все р + 1 переменные У, Хх, Хр суть 1 случайные величины, имеющие совместное многомерное нормаль-^ ное распределение. В этом разделе будет показано, что среднее • значение условного распределения У при данных значениях Кг = хх, •••> Хр = Хр определяется функцией множественной линейной регрессии р0 + р^ + ... + $рХр. Это приводит к модели множественной линейной регрессии, в- которой дисперсия ошибки а2 есть функция дисперсии о^ переменной У и величины, называемой множественным коэффициентом корреляции. Для ознакомления с концепциями многомерного статистического анализа читатель может воспользоваться разд. 1_. 1.6, приложение I.
Пусть многомерное нормальное распределение У, Хх, Хр имеет средние Цу, Ц1, Цр и дисперсии о1, а\, ар соответственно. Обозначим ковариацию У с Х( через ау1 и ковариацию Хг сХ/через о,/для г, / = 1, р. Определим далее коэффициенты корреляции
Рух1 = Оу1/(Оу01) И рх.х. = 0,7/(0,0/).
Для данных значений Хх = хх, Хр — хр существует подмножество соответствующих значений У. Их распределение, называемое условным распределением У при данных Хх = хх, Хр = хг, является нормальным со средним значением
|^.*1...л:р=^ + р1(*1-ЫН----+Рр(*р-М> (3-2.15)
которое называется условным ожиданием У при данных Хх = = хх, Хр = хр или регрессией У по Хх, Хр. Величины Ръ РР называются (частными) коэффициентами регрессии и являются функциями дисперсий и ковариаций. Дисперсия этого условного распределения дается величиной
о« = о2 (1 -р2,.^...^),
(3.2.16)
3.2. Множественная линейная регрессия и корреляции 175
где ру.Х1...х — положительный квадратный корень из р2,.^...^ — называется мтжественныж^лозффициентом корреляции между
у и хх,хр: ~ ••
Если ввести случайную величину е = У—\ху.Х1...х, то условное распределение е при данных Хх = хх, Хр = хр будет N (0, а2). Используя условное распределение можно написать
Г = Ро + РЛ+-" +Р>Р + *. (3-2.17)
где
Ро = ^-Р^-----Р>Р (3-2.18)
и е распределено по N (0, а2). Заметим, что уравнение (3.2.17) имеет тот же вид, что и модель множественной линейной регрессии (3.2.2).
Замечание 3.2.4. 1. Множественный коэффициент корреляции РуХ1...хр является мерой линейной зависимости между У и набором переменных \ХХ, Хр\, причем 0 <: ру.Хг,.Хр < 1. Нулевое значение этого коэффициента указывает, что У не зависит (линейно) от набора переменных \ХХ, ХР), а значение 1 указывает на полную линейную зависимость, при которой переменная У точно равна линейной комбинации переменных Хх, ХР.
2. Разрешая уравнение (3.2.16) относительно множественного коэффициента корреляции, получаем
г|Л1...хр=К-о2)/о2.
