Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
«,„ = 0.1101, г = 0.9039.
Используя замечание 3.1.3, получаем из этих данных Ь1= 0.879, Ь0 = 0.932, ББи == 10.359, 5БТ = 12.669,
55к=\2.310, 52 = 0.022, [У(Ь1)]1/2 = 0.04051, [V (Ь0)]У2 = 0.2990.
Таким образом, можно сформировать таблицу дисперсионного анализа, приведенную ниже:
Источник дисперсии Сумма квадратов Число степеней свободы Средний квадрат ^-отношение
Регрессия 10.359 1 10.359 470.9
Остаток 2.310 106 0.022
Полная 12.669 107
Так как Т7 = 470.9, гипотеза Я0: р! = 0 отвергается при Р << < Ю-3,что указывает на линейную зависимость рН артериальной крови от рН венозной крови. Проверка гипотезы Я0: ^ = 1 на основе выражения (3.1.12) приводит к статистике ?0 = (0.879 — — 1.000)/0.04051 = —2.99. Для альтернативной гипотезы Ну. р! ф 1 Р-значение меньше, чем 0.001, так что Я„ отвергается.
Соответственно 95 %-ный доверительный интервал для р0 есть 0.932 ± 0.299 (1.98) = (0.340, 1.524). Так как этот интервал не содержит 0, гипотеза Я0: р0 = 0 отвергается при а = 0.05. Наконец, «быстрый» 95 %-ный доверительный интервал для I среднего У при х = 7.395 есть 7.432 ± 0.148 (1.98) = (7.139, 7.725), где (0.022)1/2 = 0.148.
160
Гл. 3. Регрессионный и корреляционный анализы
В этом разделе осталось еще рассмотреть статистические выводы относительно популяционного коэффициента корреляции. Соотношение
р = ~- (3.1.32)
выражает зависимость между р и р\. В частности, р = 0 в том и только в том случае, когда б\ = 0. Поэтому можно проверить гипотезу Я0: р = 0, используя а) F-oтнoшeниe (3.1.11), Ь) и критерий (3.1.12) при 8<0) = 0 или с) преобразование Фишера, которое будет сейчас рассмотрено. Заметим также, что в силу предположения о нормальности значение р = 0 влечет за собой независимость величин X и У.
Вообще для проверки гипотезы Я0: р = р0, где р0 Ф ±1, можно применить преобразование Фишера
V -4-1пТ-Т = 1Л51312Т-^7- <ЗЛ'33)
Значения V в зависимости от г приведены в табл. 8, приложение II. В случае истинности нулевой гипотезы распределение о аппроксимируется нормальным со средним значением
ц,= -2-1п4±^ (ЗЛ-34>
и дисперсией
°§ = Т^з-' <зл-35> Статистикой критерия является
г = р ~ м" . (3.1.36)
Если Я0 верна, а п велико, то распределение 2 аппроксимируется посредством N (0, 1). Р-значение зависит от альтернативной гипотезы и Я0 отвергается, если Р < а.
Здесь 100 (1 — а) %-ным доверительным интервалом для (ха является (о1( и2), где
01 = V — а„?1 _ (а/2) И 02 =0 +°ог1_(а/2). (3.1.37)
Применяя обратное преобразование Фишера, получим
,_?=!. • (3.1.38)
Это позволяет, обращая табл. 8, приложение II, получать доверительные интервалы для р. Доверительный интервал может быть также использован для проверки гипотезы Я0: р = р0
3.1. Линейная регрессия и корреляционный анализ
161
против Я]', р Ф р„, т. е. Я0 отвергается при уровне а, если интервал не содержит р0.
Эквивалентный способ получения 95 %- или 99 %-ного доверительных интервалов для р состоит в использовании номограммы, приведенной в табл. 9, приложение П. Эта номограмма построена на основе точного распределения г (David (1938)).
При использовании номограммы из точки, отвечающей вычисленному значению г (на горизонтальной оси), проводится вертикальная линия до пересечения с границами, соответствующими данному п. Проекции этих двух точек пересечения на вертикальную ось дают границы доверительного интервала.
Замечания 3.1.5. 1. Между оценками sx,sy,s и г имеют место следующие соотношения:
S2 = Я- ) S2 (1 _ ,1) и f = .
п — 2 *v ' sy
2. Коэффициент корреляции инвариантен по отношению к изменению положения или масштаба X и/или У. Так, коэффициент корреляции для центрированной модели, такой же, что и для исходной модели. Поскольку yt есть линейная функция xit коэффициент корреляции между наблюдаемыми yt и предсказанными значениями yt (i = 1,..., п) по абсолютной величине равен коэффициенту корреляции г.
3. Статистика критерия t0 (3.1.12) для проверки Я0: р = О может быть записана эквивалентным образом как t0 = = (г 1/'7Г^2)/у 1 - г2 .
4. Из равенств (3.1.27) следует, что а = ау(\ —р2)1/2 , т. е. оставшаяся «необъясненной» через X доля стандартного отклонения У равна (1 — р2)1/2. Так как а выражается в тех же единицах измерения, что и У, то это, возможно, более осмысленная интерпретация р, чем процент объясненной дисперсии. В таблице показано соотношение между коэффициентом р и двумя его возможными интерпретациями. Заметим, что даже при р = 0.95, довольно большая доля — 31 % стандартного отклонения — остается необъясненной через X.
р Процент объясненной дисперсии Процент объясненного стандартного отклонения
0.0 0 100
±0.2 4 98
±0.4 16 92
±0.6 36 80
±0.8 64 60
±0.9 81 44
±0.95 90 31
±0.99 - 98 14 -
А. Афифи, С. Эйзен
162
Гл. 3. Регрессионный и корреляционный анализы
Пример 3.1.2 (продолжение). Выборочный коэффициент корреляции г между рН венозной [и артериальной крови равен 0.9039. Гипотеза Н0: р = 0 (т. е. независимость X и У) отвергается на основе Р-отношения дисперсионного анализа, так как Р = = 470.9, или ^-критерия (замечание 3.1.5.3). Значение *0 есть
