Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
(=i
Итак, чем больше коэффициент регрессии, тем больше сумма квадратов, «обусловленная регрессией».
Последняя колонка, F-отношение, может быть использована для проверки гипотез, если ошибки еъ е2, еп предполагаются нормально распределенными. В это-м~случае моделью простой линейной регрессии будет
& = Р\» + РЛ + *,, i=l,..., п, (3.1.10)
где еъ е2, еп — независимые случайные ошибки, распределенные по закону /V (0, а2).
3.1. Линейная регрессия н корреляционный анализ
151
Для проверки гипотезы о том, что простая линейная регрессия Y по~~Х^тсу~тствует, т. е. гипотезы^Я0 : ?i = О) против альтернативы Ну : ?x Ф О, мы используем гйэтношение из таблицы дисперсионного анализа
F0-MSd/MSr=:MSd/s2. (3.1.11)
Если верна'гипотеза Я0, то F0 имеет F-распределение с vD = 1 и vR = п — 2 степенями своо"оды. Р'-значение есть площадь области под кривой плотности распределения F (vD, vR) справа от F0. Мы отвергаем #„, если Р меньше, чем уровень значимости а. Если #0 принимаетсятто наилучшей оценкой Y при любом X = х будет среднее значение у.
Если ошибки предполагаются нормальными, можно проверить дополнительные гипотезы и построить доверительные интервалы. Для проверки #0 : ?i = ?i°\ где ?',0' — константа, используем статистику
U= Ь1Г*{\)2 , (3.1.12)
где
^1) = -^-• (3.1.13)
ё (*/ - *)2
(=1
В выводе программ регрессионного анализа величина [V(by)]1/2 часто называется стандартной ошибкой коэффициента регрессии. Если гипотеза Я0 верна, то t0 имеет ^-распределение Стьюдента с vR~=~~п — 2 степенями свободы. Р-значение зависит от вида альтернативной гипотезы, что видно из приведенной ниже таблицы.
Нулевая Альтернативная р.311ачение ,
1 • ¦ ' гипотеза гипотеза
Н0: /»1=Д0> Я,: ^1 > Д10> Р=Рг(1 > Го) ,
Я,: р1 <М°> Р=Рг{(Ы < ;0) _Я,: /?, ф р[°> Р = 2Л-(/(у«) > |/о!)
Некоторые программы выводят на печать значение 10. Соответственно 100 (1 —а) %-ный доверительный интервал для р\ есть
Ь1±УУ(Ь1)и-(а/2)(п-2). (3.1.14)
Для проверки гипотезы Я0 : ро = ро°\ гДе ро — константа, используем статистику
и= 1°"^ . (3-1.15)
W(h))l?
152
Гл. 3. Регрессионный и корреляционный анализы
где
Уф0)
;=1
л 2 (*< - *>'
1=1
(3.1.16)
В выводе программ регрессионного анализа величина IV (Ь0) ]{/2 иногда называется стандартной ошибкой свободного члена. Для #0 статистика имеет ^-распределение Стьюдента с гк = = п — 2 степенями свободы. Р-значение зависит от альтернативы таким же образом, как и для описанного выше теста. Соответствующий 100(1—а) %-ный доверительный интервал для ро есть
Ь0±]ГУ(Ь0) (а/2)(п - 2).
(3.1.17)
Приведем теперь два доверительных интервала, основанных на оценке ^ (см. замечание 3.1.2.2). Если у = Ь0 + Ьхх интерпретируется как оценка единственного значения У при X — х, то 100 (1 — а)%-ный доверительный интервал для У определяется выражением
У ±8
1 + —
1 п
Е (*
х)2
1/2
^1-(а/2, (п - 2). (3.1.18)
Если, с другой стороны, у интерпретируется как оценка среднего значения У при заданном значении X = х, то 100 (1 — а) %-ный доверительный интервал есть
(X— х)2
1/2
^1 — (а
(а/2) 1
2). (3.1.19)
Е (*<¦
1=1
x)*
Выбор доверительного интервала зависит от того, как используется оценка у исследователем. Заметим, что когда х удаляется от х, доверительный интервал увеличивается, т. е. наша оценка
п
становится менее точной. Кроме того, если п. и Е (х1 — *)2 ве~
1=1
лики, то выражение (3.1.18) аппроксимируется «быстрым» доверительным интервалом #±5^_(а/2) (п — 2). Поэтому 5 действительно можно называть «стандартной ошибкой оценки у».
Замечание 3.1.3. Если даже программа регрессии отсутствует в библиотеке программ, исследователь может вычислить все необходимые для регрессионного анализа величины, используя
3.1. Линейная регрессия и корреляционный анализ
153
дескриптивную программу. С [помощью типичной дескриптивной программы можно получить
л п
х, у, в;
^^ „Л 2(х' ~^^_
Тогда
ББо = (п - 1) ЬЫ, ¦= (я - 1) 4, = ББ, - ББо,
8« = МБр =
УФо) =
(п-2) '
П(П— \)$\
(Я - 1)8^
Таким образом, получены все компоненты, необходимые для вычисления таблицы дисперсионного анализа, проверки гипотез и получения доверительных интервалов.
Пример 3.1.1 (продолжение). Приведенная ниже таблица дисперсионного анализа получена с помощью регрессионной программы.
Источник дисперсии Сумма квадратов Число степеней свободы Средний квадрат ґ-отношение
Регрессия Отклонение от регрессии 793.099 20.945 1 18 793.099 1.164 681.5
Полная 814.044 19
Оценка о2 есть & = М8К = 1.164, а оценка стандартной ошибки есть 5 = 1.079. Так как Б = 681.5, гипотеза Н0: р\ = 0 отвергается при Р < 10"3. Для проверки гипотезы Н0: р\ = 1.0 против гипотезы Нх: 1.0 необходима стандартная ошибка коэффициента регрессии [V (&1)]1/2 = 0.047. Итак,
1.227— 1.000
0.047
= 4.83.
Эта величина значима при Р <« 0.001.
154
Гл. 3. Регрессионный и корреляционный анализы
Для проверки гипотезы, что прямая регрессии проходит через начало координат, т. е. гипотезы #„: р0 = 0 против Нх: р0 ф О, построим 95 %-ный доверительный интервал для р0» что дает
