Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
а Среднее '951-иый доверительный Длина
1_ интервал •_интервала
0 0.0375 (0.0204,0.0546) 0.0342
1 0.0367 (0.0151,0.0583) 0.0432
2 0.0302 (0.0195,0.0409) 0.0214
Замечание 2.7.1. Программа ВЛШР70 вычисляет винзори-зованные интервалы до порядка g = 5 я помечает двумя звездочками (* *) оценку среднего с наименьшей длиной доверительного интервала, т. е. наиболее точную оценку среднего. Оценка, отвечающая следующему по длине интервалу, отмечается одной звездочкой (*). Пользователь может выбирать между получением точной оценки и изменением слишком большого числа наблюдений.
2.7.2. Усеченные оценки
Усеченные оценки среднего получаются отбрасыванием g крайних наблюдений с обоих концов упорядоченной выборки уг < у2 <... ... < уа. Таким образом, а-усгченная оценка среднего [х равна
"Ф) = Х 2 Уь (2.7.Ь)
где а выбирается так, чтобы g = па, если па — целое, или целой части от па; а к = п — 2g, как и ранее. Например, если а =
2.7. Робастные оценки
135
= —, то т \—) представляет собой среднее от 50 % наблюдений,
расположенных в середине упорядоченного ряда.
Для достаточно больших значений п и при некоторых ограничениях величина т (а) распределена приблизительно нормально. Стандартное отклонение для т (а) можно вычислить по формуле
5тт = У'$$(а)/п{п-\), (2.7.6)
где 5Б (а) обозначает винзоризованную сумму квадратов (8 + 1) 1Уя+1 ~ т (а)]2 + [у„+'2 - т (а)]2 + • • • - + \Уп-я-х - т (а)]2 + {в + 1) [уп_& - т (а)]2.
Поэтому приближенный 100 (1 — а) %-ный а-усеченный интервал для среднего и. равен
т (а) ± (а/2) (Л — 1)5т(а). (2.7.7)
Для проверки гипотезы Н0 : \1 = \10 соответствующий а-усеченный односторонний 1-критерий использует статистику
( = т (а) - М-0 (2.7.8)
а Р-значение приближенно определяется из распределения Стью-дента с (п — 1) степенями свободы.
Пример 2.7.1 (продолжение). Для данных этого примера «-усеченные оценки среднего, стандартного отклонения, и 95 %-ные доверительные интервалы для среднего при а = 0 (? = 0), а = = 0.12 (? = 1), а = 0.23 (? = 2) собраны в следующей таблице. Заметьте, что кратчайший доверительный интервал получается при ? = 2.
95%-ный доверительный Длина
а т(а) интервал интервала
0 0.0375 0.0222 (0.0204, 0.0546) 0.0342
1 0.0346 0.0075 (0.0163, 0.0530) 0.0367
2 0.0308 0.0026 (0.0241, 0.0375) 0.0134
¦к 2.7.3. Кусочно-линейная Ж-оценка Хампеля
Эта процедура использует понятие М-оценки, введенное НиЬег (1964). В ней вместо обычной квадратичной функции отклонения, используемой в методе наименьших квадратов (см. гл. 3), берется
136
Гл. 2. Элементарные статистические выводы
некоторая непостоянная функция р, а в качестве оценки среднего
п
р. принимается значение, минимизирующее сумму Е р (xt — ц).
i=i
В более общей формулировке М-оценка определяется как решение
п
уравнения вида 2 Ч\(хг — \i)/s] = 0, где s — единица измерения
1=1
шкалы, а р можно считать производной от функции Хампель (Andrews et al. (1972)) предложил функцию
\у\ при 0<|у|< 1.7>-
1.7 при 1.7<|г/|<3.4,
(8.5-|у|)1.7 ол I, q г (2.7.9) -- при ЗА<\у\ <8.5,
О при z/>8.5.
^(^) = sgn(i,) X
Смысл такой функции Y в том, что она приписывает наблюдениям эмпирически подобранные веса так, чтобы при некоторых предположениях минимизировать влияние крайних наблюдений (Andrews et at. (1972)). Кусочно-линейная М-оценка Хампеля для
параметра положения определяется как решение Т уравнения
0. (2.7.10)
Это решение находится при помощи итеративной процедуры, в которой начальное значение Т0 для решения Т принимается равным медиане, а фиксированной оценкой множителя я служит медиана абсолютных отклонений от Т0. Следующий пример поясняет
ход вычисления М-оценки Т. -к
Пример 2.7.2. Пусть задана упорядоченная выборка из пяти наблюдений: 1, 3, 5, 8, 30, так что выборочная медиана равна То = 5. Абсолютные отклонения от медианы равны 4, 2, 0, 3 и 25, так что 5 = 3, как медиана для этой выборки. В следующей таблице приводятся детали вычисления величины 5, задаваемой
равенством (2.7.10) для функции ^, определенной в (2.7.9). Элемент, соответствующий хъ = 30, равен Т (8.33) = (8.5 —8.33) • 1.7/5.1 = = 0.057. Начальное значение величины 5 равно 50 = — 1.33 — — 0.67 + 0. + 1.00 + 0.06 = = —0.94.
х) V = (х, - T0)h I'm
1 - 1.33 -1.33
3 -0.67 -0.67
5 о.оо 0.00
8 1.00 1.00
30 8.33 0,06
2.7. Робастные оценки
137
Шаг Т S
0 5.0 -0.94
1 4.5 -0.67
- 2 3.5 1.16
Последовательно выбирая различные значения Т и сохраняя s = 3, получим таблицу, изображенную справа. Построив график зависимости суммы S от
Т, найдем оценку Т = 4.2, при которой 5 = 0. Различные оценки среднего, полученные при помощи описанных в этом разделе процедур,
сведены в следующую таб-
лицу.
Процедура оценивания Оценка
- Замечания 2.7.2. 1. Оценки, описанные в этом разделе, х 9.4 принадлежат к числу неадап-Один-винзоризованная 5.4 тивных робастных оценок.
оценка среднего л ^
Один-усеченная оценка сред- 5.3 Адаптивными называются про-
него цедуры, определяемые по полу-
