Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
2. Порядковая шкала. Эта шкала позволяет не только разбивать индивидуумы на классы, но и упорядочить сами классы. Каждому классу мы присваиваем различные обозначения так, чтобы порядок обозначений соответствовал порядку классов. Если мы нумеруем классы, то классы находятся в числовом порядке; если обозначаем классы посредством букв, то классы находятся в алфавитном порядке; если обозначаем классы словами, то порядок соответствует смыслу слов. Пусть, например, мы хотим классифицировать индивидуумы по трем социально-экономическим категориям — низкий, средний, высокий. Если мы решили упорядочить эти классы от низкого к высокому, то можем присвоить им такие обозначения: 1 — низкий; 2 — средний, 3 — высокий, или X — низкий, Y — средний, Z — "высокий, или НИЗКИЙ, СРЕДНИЙ, ВЫСОКИЙ. С другой стороны, мы можем упорядочить классы сверху вниз, приняв, что 1 — высокий, 2 — средний, 3 — низкий и т. д. В этом примере цифры и буквы являются последовательными, но это не обязательно, так как можно обозначить, например, 1 — низкий, 10 — средний, 100 — высокий, или А — низкий, Р — средний, Z — высокий и т. д.
Структура порядковой шкалы сохраняется при любой взаимно однозначной подстановке, которая сохраняет порядок. Например, 1 -> 2, 2 -> 3, 3 -> х, где х > 3 — допустимая перестановка, а 1 -> 2, 2 -> 3, 3 -> 1 — недопустимая.
Арифметические операции для этой шкалы также не имеют смысла, так что подходящие статистики положения должны не зависеть от значения наименований классов. Поэтому медиана и мода являются подходящими мерами положения центра.
3. Интервальная шкала. Эта шкала позволяет не только классифицировать и упорядочивать индивидуумы, но и количественно
1.1. Данные, измерения и вычислительные средства
17
оценивать различие между классами. Чтобы производить такие сравнения, нужно ввести единицу измерения и произвольное начало отсчета (нуль-пункт). Например, температура в градусах по Фаренгейту принадлежит интервальной шкале, где 0° F является началом, 1° F — единицей измерения. Так, индивидуум с температурой 100.6° F имеет температуру на 2° F выше нормальной (98.6° F).
Структура интервальной шкалы не изменяется при линейном преобразовании вида х' = ах + b, а > 0. Это преобразование смещает начало на Ь единиц и изменяет единицу измерения в а раз. В качестве примера рассмотрим преобразование х —
= -д- (х — 32) = 0.55.x — 17.8, где х — температура в °F. Это
преобразование переводит шкалу Фаренгейта в шкалу Цельсия.
Для интервальной шкалы арифметические операции имеют смысл, так что среднее, медиана и мода — вполне подходящие меры положения центра.
4. Шкала отношений. Эта шкала отличается от интервальной шкалы лишь тем, что в ней задано абсолютное начало отсчета. В этой шкале можно определить, во сколько раз одно измерение превосходит другое. Например, рост индивидуума в дюймах принадлежит шкале отношений, в которой 0 дюймов есть фиксированное начало отсчета, а 1 дюйм — единица измерения. Так, индивидуум ростом 72 дюйма в два раза выше, чем индивидуум ростом 36 дюймов.
Структура шкалы отношений не изменяется при преобразовании х' = сх, с > 0. Так, если у — 2х, то у' = 2х', т. е. в обоих случаях одно измерение вдвое больше другого. Примером такого
преобразования является х' =-jj*, которое преобразует дюймы
в футы. Все статистики, подходящие для интервальной шкалы, подходят и для шкалы отношений.
При выборе методов статистического вывода исследователь должен стремиться использовать свойства своей шкалы измерений. Так, для шкалы наименований годятся только статистические методы для неупорядоченных классов. К ним относятся критерий X2 для полиномиального распределения, %2 как мера связанности и выводы относительно биномиального распределения. Частично об этом сказано в разд. 2.1 и 2.5. Для порядковой шкалы подходят методы, основанные на понятии ранга. Последние принадлежат области непараметрических статистик и в книге не обсуждаются (см., например, Brownlee (1965), Gibbons (1971), Noether (1967), Siegel (1956), Walsh (1965)). Статистические методы, подходящие для интервальной икали, пригодны и для
18
Гл. 1. Введение в анализ данных
шкалы отношений и включают практически все статистические методы.
Заметим, что в дополнение к уже введенной классификации шкал измерений наблюдения делятся на дискретные и непрерывные. Реализации непрерывных случайных величин называются непрерывными наблюдениями, а реализации дискретных случайных величин — дискретными наблюдениями. Именованные и порядковые данные всегда дискретны, а интервальные и относительные могут быть как дискретными, так и непрерывными. Например, температура в градусах по Фаренгейту или Цельсию представляет собой непрерывное измерение в интервальной шкале, а число телефонных вызовов за один час — дискретное измерение в шкале отношений. Настоящая книга посвящена в основном анализу непрерывных данных, полученных путем измерений в интервальной шкале или шкале отношений.
Для облегчения вычислений при анализе данных можно использовать различные средства. Например, карманные калькуляторы служат сравнительно недорогим и удобным средством для выполнения как простых арифметических операций (+, —, X, :, V), так и вычисления логарифмических и тригонометрических функций (log х, ех, sin х, cos х, sin"1 хит. д.). Во многих карманных калькуляторах предусмотрена возможность вычислять и некоторые статистические суммы. Более дорогие модели с памятью пригодны для выполнения многих стандартных классических статистических процедур. Однако память этих калькуляторов, предназначенная для накопления данных, ограничена.
