Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
= max p.j. Эта статистика характеризует уменьшение вероятности
ошибки при переходе от случая i) к случаю И).
Мера а обладает следующими свойствами: 1) а не определено, если все распределение сосредоточено в одной ячейке; 2) независимость влечет за собой X = 0, но обратное не обязательно верно; 3) а = 1 тогда и только тогда, когда популяция сосредоточена в ячейках, никакие две из которых не находятся в одной и той же строке или столбце; 4) а инвариантно относительно перестановок строк или столбцов; 5) аа < а <: Хв.
Оценкой максимального правдоподобия для а при 2п Ф ф max f.j + max служит
/ i
г с
? max ft, + ? max fц — max / ¦ — max f(
L = bl_i- '=1 ' .-Ц-'—. (2.6.25)
2n — max / . — max ft. v '
/ i
Пример 2.6.4 [продолжение). В предыдущем примере ?max fti = 75, ?max ft} — 55, max f.,- — 70, max ft. = 50, так что L = (75 + 55 — 70 — 50)/(2бЬ — 70 — 50) = 0.125.
2.6. Другие критерии независимости
129
В следующей таблице содержатся значения всех этих мер и их АЭЕ, полученные с помощью программы ВЛЮРШ.
Мера Значение А8Е -
*в 0.167 0.151 1.11
0.100 0.094 1.06
V 0.200 0.177 1.13
0.152 0.139 1.09
Гц 0.143 0.076 1.88
0.067 0.038 1.76
я 0.125 0.106 1.18
Легко видеть, что все результаты незначимы при а = 0.05. Поэтому по ним нельзя предсказать ни наличие бронхита при привычке к курению, ни привычку к курению по наличию бронхита.
III. Есть упорядоченность, нет симметрии. Рассмотрим теперь случай, когда I) А и В не получаются в результате дискретизации непрерывных величин; И) уровни факторов А к В упорядочены, ш) классификация А предшествует классификации В. Предположим, что два индивидуума выбраны были случайно и попали, например, в ячейки (аъ Ьх) и (а^, Ь2). Пусть
П5 = Рг{а1<а2 11 Ьх<СЬ2 или ах> а2 и Ь1^>Ь2},
П(1 = Рг{а1<а2 и Ь1^>Ь2 или а1>а2 и Ь1<Ь2|, (2.6.26)
П4 = Рг\аг = аг или Ьх = Ьг\
— соответственно вероятности того, что два индивидуума имеют тот же самый порядок, различный порядок или их классы для А или В совпадают. Сомер (Ботегв (1962)) предложил меру связанности О:
Ав = (П, - Па) Д1 - 2 р?.у (2.6.27)
В предположении ах Ф а2 эта мера представляет собой разность между \) условной вероятностью слабого соответствия, т. е. {ах — а2) (Ьг — Ь2) 0 и И) условной вероятностью слабого несоответствия, т. е. (а1 — а2) (Ьг —¦ Ь2) < 0. (Знаменатель в Дв есть вероятность того, что два независимо выбранных индивидуума не лежат в одной и той же строке.)
Мера Дв обладает следующими свойствами: {) Дв не определена тогда и только тогда, когда популяция сконцентрирована в одной строке; и) из независимости следует, что Дв = 0, но обратное не обязательно верно.
5 Л. Афифв» С Эйзен
130
Гл. 2. Элементарные статистические выводы
МП-оценкой меры Дв служит
<*а = (Р.-ЛОД"2- Ей), (2-6.28)
где Р5 = 2Р, Рй = 2(2, а Р и (2 определены формулой (2.6.14). Величина П4 и ее МП-оценка Рх =п2 — Р5 — Рй используются при вычислении АБЕ.
Замечание 2.6.3. Если уровень фактора А предсказывается по уровню В, то аналогичной мерой и ее МП-оценкой служат соответственно
ДЛ = (П8-П„)|(1 - 2(4), йл = (Рз-Ра)|(»2- Е/2/)-
IV. Есть упорядоченность, есть симметрия. Если факторы А и В связаны симметрично, то мера связанности у (гамма) имеет вид
7 = (П,-П„)/(1 -ПО. (2.6.29)
Величина 7 является мерой того, насколько более вероятен одинаковый, чем различный порядок у двух случайно выбранных из популяции индивидуумов.
Мера у обладает следующими свойствами: 1) у не определено, если популяция сосредоточена в одной строке или в одном столбце таблицы сопряженности; и) 7 = 1, если популяция сосредоточена на подмножестве, «идущем слева сверху вправо вниз»*); Ш) 7 = —1, если популяция сосредоточена на подмножестве, «идущем справа сверху влево вниз» 2); [\) независимость влечет за собой, что 7 = 0, но обратное не обязательно верно.
МП-оценкой для 7 служит
б = (Р. - РЛ)/{РЛ + Ра), (2.6.30)
где Р8 и Рй те же, что и в формуле (2.6.28).
Пример 2.6.5. Предположим, что при изучении влияния привычки к курению в примере 2.6.1 желательно предсказать один из четырех классов фактора В = ДЛГ2 (недостаточный, средний, выше среднего, отличный) на основе одного из трех классов
х) То есть Ф 0 =>- (іх — і) Ці — /) > 0. — Прим. перев.
2) То есть ііііігіг Ф0^- (г'і — г) (/і — /') < 0. — Прим. перев.
2.6. Другие критерии независимости
131
фактора А = РЕУХ (недостаточный, средний, выше среднего). Соответствующие данные приводятся в следующей таблице:
1 В = ДЛГ2 2 3 4
1 8 5 3 3 19
2 0 8 1 0 9
3 0 4 14 4 22
8 17 18 7 50
Для вычисления 4 и б сначала вычислим Р8 = 2Р = 2[8(31) + 5(19) + 3(4) + 8(18) + 1(4)] = 1006, РА =2(1 = 2[3(27) + 3(12) + 1(4)]=242
и Е /?• = 926. Поэтому = (1006 - 242)/(2500 - 926) = 0.485,
б =' (1006 - 242)/(1006 + 242) = 0.612.
Ниже приводится вывод на печать программы ВАШР1Р» содержащий значения мер связанности и их ЛБЕ.
Мера Значение АЗЕ X
Ав У 0.485 0.431 0.612 0.130 0.115 0.151 ' 3.73 3.74 4.05
Все меры являются значимыми, причем Р <| 0.001. Поэтому класс фактора В можно предсказывать, зная класс фактора А, и обратно.
