Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
X ехр [—4~ (х — мУ2_1(х — ц)], где х = (хг, .... хк)', 2 = = АА', |2|— определитель матрицы 2, а 2"1 — матрица, об-
446
Приложение 1. Обзор основных понятий
ратная 2. Вектор средних этого распределения равен ц, а матрица ковариаций равна 2. В этом случае мы говорим, что случайный вектор X распределен по закону N (ц, 2).
2. Если X**1 имеет распределение /V 2), а Втх*—матрица ранга т, то У"*1 = ВХ обладает т-мерным нормальным распределением.
3. Область ^-мерного евклидова пространства, определяемая уравнением / (х) = с, где с — константа, является эллипсоидом, называемым эллипсоидом концентрации.
4. Пусть- Х*х1 имеет распределение N (ц, 2), Хх — (Хц ... Х1)' и Х2 = (Х/+1, Хк)'. Кроме того, положим
и, = (ци ц,)'; ц2 = 0*1+к М*)''
п л
°1+ 1,*
^¦12= Е'21 =
"'1.1+1 "' а1
Тогда Х1 имеет распределение N (^ 2ц), а Х2 — распределение N (ц2, 222). Условным распределением X! при условии Х2 = х2 = = (х/+1, хк)' будет N (|И1 + 2,22^ (х2 —м«). 2и — 21222~21221). ?
Пример 1.1.1 (продолжение). Как и в примере 1.1.1а, врач измеряет величины Хг (ха) — изменение диастолического давления (в мм рт. ст.) и Х2 (ш) — изменение систолического давления (в мм рт. ст.) для каждого пациента пи. Эти функции определяют соответственно случайные величины X! и Х2. Последние можно записать в виде случайного вектора размера 2X1: X = (Хь Х2)'. Врач предполагает, что вектор X обладает (двумерным) нормальным распределением с вектором средних ц и матрицей ковариаций 2:
Плотность этого распределения определяется формулой
/ (*!, Х2) =--\т== X
>1_ , 2 = '°1 аи
X
а1
) -2р
(XI — Ц1) (*2 - |12) 01.0-2
1.6. Многомерное нормальное распределение
447
где р = о'12/(а1о2) — коэффициент корреляции генеральной совокупности (подробно р обсуждается в разд. 3.1). Эта плотность в трехмерном пространстве с координатными осями хъ х2 и / х2) имеет колоколообразную форму. Вероятности событий представляют собой объемы, ограниченные снизу двумерными областями в плоскости (хъ х2), а сверху — поверхностью / (хи х2).
Частное распределение Хг есть N (рь о2), I = 1, 2, и если р = = 0 (т. е. Хъ Х% не коррелированы) то I ,(хъ х2) = Д (хх) /2 (х2), где (хг) — плотность Х{, I = 1, 2. Это подтверждает, что две некоррелированные нормальные случайные величины также и независимы.
Наконец, условное распределение величины Хх при условии Х2 = х2 будет нормальным со средним уц + (о\2/о1) (х2 — \12) и дисперсией о? — а\21а\. Это условное распределение приводит к простой линейной регрессии (см. разд. 3.1).
Приложение II
Статистические таблицы
Таблица 1
Биномиальные вероятности (разд. 1.2.1) г)
п \ Р * \ .01 .10 .20 .25 .30 .33 .40 .50
2 0 .9801 .8100 .6400 .5625 .4900 .4444 .3600 .2500
1 .0198 .1800 .3200 .3750 .4200 .4800 .5000
2 .0001 .0100 .0400 .0625 .0900 .1111 .1600 .2500
0 .9703 .7290 .5120 .4219 .3430 .2963 .2160 .1250
1 .0294 :2430 .3840 .4219 .4410 .4444 .4320 .3750
' 2 .0003 .0270 .0960 .1406 .1890 .2222 .2880 .3750
3 .0000 .0010 .0080 .0156 .0270 .0370 .0640 .1250
4 0 .9606 .6561 .4096 .3164 .2401 .1975 .1296 .0625
1 .0388 .2916 .4096 .4219 .4116 .3951 .3456 .2500
2 .0006 .0486 .1536 .2109 .2646 .2963 .3456 .3750
3 .0000 .0036 .0256 .0469 .0756 .0988 .1536 .2500
4 .0000 .0001 .0016 .0039 .0081 .0123 .0256 .0625
5 0 .9510 .5905 .3277 .2373 .1681 .1317 .0778 .0312
1 .0480 .3280 .4096 .3955 .3602 .3292 .2592 .1562
2 .0010 .0729 .2048 .2637 .3087 .3292 .3456 .3125
3 .0000 .0081 .0512 .0879 .1323 .1646 .2304 .3125
4' .0000 .0004 .0064 .0146 .0284 .0412 .0768 .1562
5 .0000 .0000 .0003 .0010 .0024 .0041 .0102 .0312
Приложение II. Статистические таблицы
449
Продолжение табл. 1
п \ Р |\ .01 .10 .20 .25 .30 .33 .40 .50
6 0 .9415 .5314 .2621 .1780 .1176 .0878 .0467 .0156
1 .0571 .3543 .3932 .3560 ,3025 .2634 .1866 .0938
2 .0014 .0984 .2458 .2966 .3241 .3292 .3110 .2344
3 .0000 .0146 .0819 .1318 .1852 .2195 .2765 .3125
4 .0000 .0012 .0154 .0330 .0595 .0823 .1382 .2344
5 .0000 .0001 .0015 .0044 .0102 .0165 .0369 .0938
6 .0000 .0000 .0001 .0002 .0007 .0014 .0041 .0156
7 0 ¦.9321 .4783 .2097 .1335 .0824 .0585 .0280 .0078
1 .0659 .3720 .3670 .3115 .2471 .2048 .1306 .0547
2 " .0020 .1240 .2753 .3115 .3177 .3073 .2613 .1641
3 .0000 .0230 .1147 .1730 .2269 .2561 .2903 .2734
4 .0000 .0026 .0287 .0577 .0972 .1280 .1935 .2734
5 .0000 .0002 .0043 .0115 .0250 .0384 .0774 .1641
6 .0000 .0000 .0004 .0013 .0036 .0064 .0172 .0547
7 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0005 .0016 .0078
8 0 .9227 .4305 .1678 .1001 .0576 .0390 .0168 .0039
1 .0746 .3826 .3355 .2670 .1977 .1561 .0896 .0312
2 .0026 .1488 .2936 .3115 .2965 .2731 .2090 .1094
3- .0001 .0331 .1468 .2076 .2541 .2731 .2787 .2188
4 .0000 .0046 .0459 .0865 .1361 .1707 .2322 .2734
5 .0000 .0004 .0092 .0231 .0467 .0683 .1239 .2188
6 .0000 .0000 .ООП ,0038 .0100 .0171 .0413 .1094
7 .0000 .0000 .0001 .0004 .0012 .0024 .0079 .0312
8 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0007 .0039
9 0 .9135 .3874 .1342 .0751 .0404 .0260 .0101 .0020
