Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
вестной дисперсией о2. Тогда статистика г0 = * 1/"я при
выполнении Н0 обладает распределением N (0, 1); она используется для проверки гипотезы Я0: и. = и.0 против одно- или двусторонней альтернативы. Если альтернатива имеет вид Ях: и. > и.0> то критической областью для г будет г ^ гг_а. Р-значение.будет равно площади под кривой плотности распределения N (0, 1)
1.5. Проверка гипотез
441
вправо от г0 (рис. 1.5.3, а). Если альтернатива имеет вид Ну. р, <^ р0, то критической областью будет г «: га, а Р-значение равно площади под кривой плотности распределения N (0, 1) влево от г0 (рис. 1.5.3, Ь). Наконец, если Ну р, Ф ц.0, то критическими областями будут г <: га/2 и г ^ г1_-(а/2), так что Р-значение равно удвоенной площади вправо от абсолютного значения г0 под кривой плотности N (0, 1) (рис. 1.5.3, с). Во всех трех случаях если Р-зна-чение меньше а, то Я0 отвергается с уровнем значимости а (или, иными словами, критерий является статистически значимым при уровне а). Если Я0 принимается, то критерий считается статистически незначимым.
2. Можно использовать 100 (1 — а) %-ный доверительный интервал для 6 для проверки гипотезы Я0: 0 = 0О против двусто- ~ ронней альтернативы Ну 0 ф 0О с уровнем значимости а. В этом случае мы принимаем Я0, если интервал включает значение 0О, в противоположном случае мы отвергаем Я0.
3. 100 (1 — а) %-ный доверительный интервал для р, при известной дисперсии а2 был указан в замечании 1.4.1.5 в виде
. Этот интервал можно исполь-
а - , а
21-(а/2) Г7^> Х "Г г1_(а/2) "ГГ= V п V п
зовать для проверки гипотезы Я0: ц = р0 против альтернативы Ях: р Ф р,0 при уровне значимости а. Если интервал включает р,0, мы принимаем Я0, в противоположном случае мы отвергаем Я0.
Пример 1.1.1 (продолжение). По выборке из 9 пациентов врач вычислил х — 25. Предположим для наглядности, что а = 20. Тогда он может проверить гипотезу Я0: р, = р,0 = 0 против Нх: р. > 0 с уровнем значимости а = 0.05. Критическое значение равно хи = 0 + г0.95 (20/*/9) = 1.645 (6.67) = 10.97 (см. замечание 1.5.1.1). Так как 25 > 10.97, то Я„ отвергается и врач утверждает с уровнем значимости а = 0.05, что есть значимое положительное изменение систолического кровяного давления вследствие применения данного лекарства. Если Ях: р, = рх = 30, то мощность этого критерия (см. замечание 1.5.1.2) есть п = Рг (1 <;—1.645 +
+ (3°~0) 1/9 ) = Рг (1 <2.86) > 0.998. Следовательно, вероятность того, что нулевая гипотеза отвергнута правильно, превышает 0.99, если ц. действительно равно 30. В качестве еще одного метода проверки гипотезы Я0 можем использовать статистику критерия из замечания 1.5.2.1. При этом г0 = ^252~°^ У9 == 3.75. Так
как критическая область г > г0-95 = 1.645, то Я0 отвергается.
В качестве третьей возможности рассчитаем по табл. 2 (приложение II) значение Р = Рг (г > 3.75) < 0.0001. Так как это Р-значение меньше, чем а = 0.05, то отвергаем гипотезу Я0.
Наконец, можно проверить гипотезу Я0 против двусторонней
442
Приложение I. Обзор основных понятий
альтернативы Ях: р Ф 0 при а = 0.05, используя 95 %-ный доверительный интервал для р. Так как интервал 25 ± 1-96 (20/3) = = (11.9, 38.1) не включает 0, то гипотезу Я0 отвергаем.
1.6. Многомерное нормальное распределение
В этом разделе опишем схематически теоретические основы многомерных измерений, т. е. теорию нескольких случайных величин, определяемых на одном объекте из генеральной совокупности. Для этого мы определим понятия вектора и матрицы случайных величин, а также вектор средних и матрицу ковариаций. Далее мы введем совместное распределение, чаще всего используемое в приложениях статистики, — многомерное нормальное распределение. Приложения этого распределения описаны в гл. 3—5.
1.6.1. Случайные векторы и матрицы
Определения векторов и матриц, приведенные в этом разделе, относятся к особому случаю, когда компонентами служат случайные величины или реализации случайных величин.
Во многих приложениях статистики исследователь измеряет к > 1 характеристик каждого объекта пи генеральной совокупности №\ Как говорилось в разд. 1.1.6, мы вводим ? случайных величин Хг, Хк так, чтобы они соответствовали этим характеристикам. Полезно рассматривать эти ? случайных величин как случайный ёектор, т. е. как упорядоченный набор из ? чисел, расположенных в виде столбца "
Каждый элемент Х{ называется компонентой случайного вектора. Мы обычно обозначаем векторы жирными заглавными буквами X,
Реализация случайного вектора X обозначается вектором наблюдений ~.......
где компоненты вектора х являются реализациями хъ хк случайных величин Хъ Хк соответственно. Такая реализация х называется многомерным наблюдением, а при й = 2 — двумерным наблюдением. Векторы наблюдений будут обозначаться жирными малыми буквами х, у, г, ....
X =
-хг-
(1.6.1)
у, г,-....
(1.6.2)
Далее будем использовать обозначение X = (Хг.....Хк)', где ' означает
транспонирование. — Прим. ред.
1.6. Многомерное нормальное распределение
443
Иногда случайный вектор снабжают индексами: Х*х1, чтобы подчеркнуть, что & компонент расположены в 1 столбец. Если число компонент очевидно, то верхний индекс можно опустить. Аналогичный верхний индекс может иметь и вектор наблюдений.
