Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
а = Рг { отвергнуть Я01Я0 верна }, (1.5.1)
6 = Рг { принять Я01Я0 ложна [.
1.5. Проверка гипотез
435
(Черта «|» читается «при условии, что».) Статистическая задача состоит в том, чтобы найти решающую процедуру, некоторым образом минимизирующую вероятность совершения любой из этих ошибок, т. е. минимизирующую а и р.
Таблица 1.5.1
Два типа ошибок, допускаемых при статистической проверке гипотез
#о верна
Отвергнуть Н0
Принять #0
Ошибка первого рода, вероятность а
Верное решение, вероятность 1—а
#0 не верна
Верное решение, вероятность 1-
Ошибка второго рода, вероятность р
В примере 1.1.1 обозначим через хс критическое значение х. Для вычисления вероятностей аир, связанных с этим решением, врач изучает выборочное распределение х при условии, что верна #0, а также выборочное распределение х при условии, что верна Ну.
Нулевое распределение Альтернативное распределение (верна Н0) (верна Н,)
/<=0
Область принятия
Критическая область
Рис. 1.5.1. Вероятности, связанные с проверкой гипотезы #„: (X = (Хх > 0.
0 против Нг
Так как Ну включает каждое значение и > 0 и все они входят в Ну, то он ограничивается некоторым частным значением, например 11 = и2 > 0. Эти распределения показаны на рис. 1.5.1. Нулевое и альтернативное распределения — выборочные распределения х соответственно при условиях #0 и Ну. Так как задача исследователя — минимизировать а и р, то он ищет хс, достигающее этой цели. Изучение рис. 1.5.1 показывает, что при движении хс. вправо а убывает, но 6 растёт. Аналогично, если хс движется влево, то р убывает, а а растет. Обычное решение этой дилеммы состоит в том что фиксируют некоторое малое значение а и надеются, что р буде^ташашло. Фиксированное "значение а называется уровнем значимости. Обычные значения для а: а — 0.10, 0.05, 0.01. При фиксированном а «качество» критерия для про-
436
Приложение I. Обзор основных понятий
верки гипотезы измеряется вероятностью отвергнуть #0, когда верна Нг. Эта вероятность, называемая мощностью критерия, обычно обозначается через п и выражается соотношением
п — 1 — В = Рг { отвергнуть #01 #х верна \ —
¦= Рг{ принять Н1\Н1 верна }. (1.5.2)
Следует отметить, что в нашем примере мощность является функцией выбранного альтернативного значения параметра u^. «Хорошим» критерием при фиксированном а является критерий, обладающий,большей мощностью. Иногда удается найти «наилучший» критерий в том смысле, что он обеспечивает минимум В среди всех критериев, обладающих уровнем значимости а. Другими словами, наилучший критерий — это критерий, обладающий максимальной мощностью л_среди всех критериев с уровнем значимости а.
Фиксация а задает критическое значение хс. Критической областью для #0 называется подмножество выборочного пространства, соответствующее отклонению гипотезы Я0. Дополнительная область, соответствующая принятию Я0, называется областью принятия Я0. Для примера 1.1.1 критическая область есть х^г хс, а область принятия х <^хс (рис. 1.5.1).
1.5.1. Процедура построения критерия для проверки гипотезы
Вообще говоря, проверка статистической гипотезы эквивалентна указанию критической области • выборочного пространства при фиксированном уровне значимости а. Может существовать много критериев, достигающих одного и того же значения а, но цель состоит в отыскании критерия, максимизирующего мощность. Хотя стандартной процедуры определения наиболее мощного критерия не существует, часто оказывается полезной процедура, основанная на отношении правдоподобия. Обсудим эту процедуру.
Пусть хъ хп — случайная выборка из генеральной совокупности с плотностью (или законом распределения) / (х; Qit ... Qk). Отношение правдоподобия % определяется выражением
max L (0j.....Qk)
Х-= я° г/а-д-г-. (1.5.3)
max L (0j.....Qk) х '
Знаменатель представляет собой максимальное значение функции правдоподобия L (0Ь 0,;.), заданной равенством (1.4.4), по всем возможным значениям параметров Эх, Qk- Числитель представляет собой максимальное значение L (0lt 0^) при всех значениях параметров, которые допускаются гипотезой Я0. Заметим, что % — случайная величина, так как она является функцией от Хх, Хп. Так как Я0 налагает ограничения на значения
1.5. Проверка гипотез
437
параметров, то отношение X должно удовлетворять неравенству О < X < 1. Интуитивно ясно, что, если Покажется близко к 1, мы должны склониться к принятию Н0. Таким образом, процедура проверки отношения правдоподобия состоит в отклонении Н0 при
0 < X < Хс, где Хс выбирается так, чтобы
Рг(л<лс|#0) а. (1.5.4)
Следовательно, критическое значение Хс определяется из распределения величины X при условии #0 так, чтобы при выполнении гипотезы #0 критическая область имела вероятность а. Полезно отметить, что
maxL(91, . . .,'8ft) = L(e\, . . ., 9,), (1.5.5)
где 9j — оценка максимального правдоподобия параметра 9г,
1 = 1, k. Аналогично,
maxL(9b . . ., 8») 1.(В\'\ . . ., 8i0>), (1.5.6)
где 9(01 — либо значение 9Ь заданное гипотезой Я0, либо МП-оценка параметра 9г при условии Я0, i = 1, k. Так как значение Хс невозможно определить, если неизвестно распределение X при условии правильности нулевой гипотезы, иногда оказывается необходимым воспользоваться асимптотическим распределением для X. При выполнении #0 и п оо распределение —21n X приближается к распределению %2 (v). Число степеней свободы v равно числу независимых параметров при справедливости гипотезы Я0.
